4.2. Брус переменного сечения

Если по длине бруса размеры его поперечного сечения плавно изменяются, то с достаточной для практики точностью остаются справедливыми формулы (4.1)...(4.3), полученные для бруса постоянного сечения. Следует отменить, что опасным сечением бруса, поперечные размеры которого меняется по длине, является не то сечение где действует максимальный ВОФ, а то, где имеет место наибольшее напряжение.

Задача 4.5. По заданным условиям загружения бруса (рис.4.5, а-в) определить величину диаметра d_o из условия прочности. Известно: l, q, m, F, [σ],[τ].

Указание. В произвольном сечении записать выражение для максимального напряжения. Исследовать полученную функцию на экстремум и, определить σ_тах, τ_тах, составить условие прочности. При изгибе бруса (кроме 4.5, в) проверять полученное значение d_o из условия прочности по касательным напряжениям, приняв [τ] = 0,5·[σ].

4.3. Брус равного сопротивления

Особенностью таких брусьев переменного сечения является то, что максимальные напряжения во всех сечениях одинаковы и равны наперед заданным (например, [σ] или [τ]).

Задача 4.6. Из условия прочности спроектировать брусья равного сопротивления: при растяжении силой F и собственным весом (удельный вес - γ ) - рис.4.6, а; кручении (рис.4.6, б); поперечном изгибе (рис. 4.6, в) - в последнем случае размеры сечений b_o и h_o на конце бруса, где изгибающий момент близок к нулю, подобрать из условия прочности по касательным напряжениям. Известно: l, F, γ, m, b, h, [σ], [τ].

Указание. Для установления закона изменения площади поперечного сечения бруса A_z (рис.4.6, а) рассмотреть условие равновесия элемента длиной dz; для схем на рис.4.6, б, в приравнять τ_тах и σ_тах в произвольном сечении соответственно [σ] и [τ].

4.4. Оптимизация конструкций

При проектировании конструкций л их элементов нужно стремиться к тому, чтобы они при прочих равных условиях обладали повышенной грузоподъемностью, имели рациональную форму с точки зрения размещения материала по сечению и уменьшения массы конструкции. Эти цели достигаются различными способами. Например, если для балки есть возможность варьировать размеры поперечного сечения получаемого из какой-то заготовки, следует выбрать эти размеры так, чтобы величины осевого момента инерции сечения и осевого момента сопротивления стали максимальными - задачи подобного рода были рассмотрены в главе 1 (задача 1.12). Примером рационального использования материала являются брусья равного сопротивления (задача 4.5). В других случаях оптимальное решение задачи достигается при равенстве внутренних усилий или напряжений в различных сечениях бруса или при условии минимизации целевой функции, например объема конструкции.

Задача 4.7. Определить величины α и β, при которых грузоподъемность балки постоянного сечения будет наибольшей (рис.4.7).

Указание. При решении схем на рис.4.7, а, б приравниваем абсолютные величины изгибающих моментов на правой опоре и в середине пролета; для определения неизвестных α и β (рис.4.7, в) составляем два условия: 1) М_В = М_D и 2) изгибающий момент на правой опоре по абсолютной величине равен максимальному изгибающему моменту на участке ВС.

Задача 4.8. Определить величину α, при которой масса ступенчатого бруса будет минимальной при удовлетворительной прочности. Известны: ρ - плотность, F, m₀, l, [σ], [τ] (рис. 4.8).

Указание. Из условия прочности в опасных сечениях, найти размеры поперечного сечения; записать выражение для объема тела и минимизировать эту целевую функцию по переменной α.

Задача 4.9. Определить величину α, при которой суммарная масса брусьев 1 и 2, спроектированных по условию прочности, будет минимальной. Материал брусьев на рис.4.9, а, б - сталь, а на рис.4.9, в - чугун. Задано: F , l, [σ_c] = n·[σ_p], где для стали n = 1; для чугуна n = 5.

Указание. См. решение предыдущей задали.