5.5. Брусья переменного сечения

Для брусьев переменного сечения формула Верещагина не применима; перемещения в статически определимых системах и в канонических уравнениях метода сил вычисляются с помощью интегралов О.Мора.

Задача 5.21. Для конического бруса, загруженного распределенной осевой нагрузкой интенсивностью q = const (рис.5.21, а), распределенным скручивающим моментом интенсивностью т/l (рис.5.21, б) и сосредоточенным моментом т, изгибающим брус в вертикальной плоскости (рис.5.21, в), определить указанные на рисунках перемещения. Известно: l, m, α, Е, G.

Указание. Записать величину диаметра d_z и геометрических характеристик (А, J_p, J_x) в произвольном сечении z, выбрать соответствующее единичное состояние и вычислить интегралы О.Мора.

Задача 5.22. Определить максимальную температуру равномерного нагрева конического бруса (Δt_max) перемещение сечения К при найденном значении Δt_max (pиc.5.22), если l = 1,3 м; а = 0,04 м; E = 2·l0⁵ МПа; α = 1,25·10^-5 1/град; [τ] = 150 МПа.

Указание. Раскрыв статическую неопределимость, определить Δt_max из условия прочности опасного сечения бруса; вычислить величину нормальной силы N и для эквивалентной системы найти линейное перемещение сеченая К с учетом повышения температуры бруса и действия продольной силы N (см. решение задачи 5.21).

Задача 5.23. Определить, на какой максимальный угол (φ_max) можно повернуть правую опору, жестко соединенную с коническим брусом (рис.5.23), чтобы максимальное напряжение, в брусе не превышало допускаемого, если l = 2,4 м; d = 0,07 м; [τ] = 100 МПа; G = 8·10⁴ МПа.

Указание. Решив каноническое уравнение метода сил где Δ_1Δ = ± φ_max, найти X₁ - момент в правой подвижной опоре, а затем из условия прочности - величину τ_max.

Задача 5.24. Брус в форме двух усеченных конусов, имеющий диаметр d посредине и диаметр 2d в опорах, загружен силой F = 9 кН. Построить эпюру изгибающих моментов и определить размер d, если l = 1 м и [σ] = 152 МПа (Рис.5.24).

Указание. Учитывая геометрическую и силовую симметрию, принять за эквивалентную систему половину бруса ОВ, загрузив ее в сечении О силой F/2 и неизвестным моментом X₁. Раскрыть статическую неопределимости и построить эпюру изгибающих моментов. В произвольном сечении z (рис.5.24) записать выражение для нормального напряжения , где и исследовав функцию (l) на экстремум, найти положение опасного сечения (z₀), а затем, из условия прочности, вычислить величину d.

5.6. Расчет систем по деформированному состоянию.

Особенностью решения данных задач является неприменимость принципа начальных размеров. При составлении уравнений статики в этих случаях необходимо рассматривать деформированную систему, так как в исходной равновесие невозможно.

Задача 5.25. Определить усилия, возникающие в одинаковых стальных стержнях ОВ и ОС постоянного поперечного сечения (А = 10^-3 м²), и вертикальное перемещение узла О при действии силы F = 128 кН (рис.5.25. а, б), если l = 1 м, E = 2·10⁵ МПа, α = π/18 рад.

Указание. Из условия равновесия узла О в деформированном состоянии системы для обеих схем следует: N = F /2α (l). Деформация стержней (рис. 5.25, б): Δl = l/cos α - l/cos α₀ = l·(α²/2 – α₀²/2) (2)- это выражение верно и для рис.5.25, а, если положить α₀ = 0. Далее принять во внимание закон Гука Δl = N·l /Е·А и получить выражение для определения угла α. Вычислив α, найти N (l) и Δ = α·l. Если перемещение Δ не задано, то задача решается как геометрически нелинейная.