Исследование функций на непрерывность. Точки разрыва.

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке xo, если: а) функция y=f(x) определена в точке xo, т.е. точка xo принадлежит области определения функции;

б) существует предел функции y=f(x) при x→xo; в) предел равен значению функции в точке xo, т.е. . При нарушении вышеуказанных условий точка xo называется точкой разрыва функции. Точки разрыва функции делятся на точки разрыва 1-ого рода и точки разрыва 2-ого рода.

Если односторонние пределы функции y=f(x) при x→xo существуют и конечны, но не равны друг другу, то такая точка xo называется точкой разрыва 1-ого рода неустранимой: , A≠B.

Если же правый и левый пределы при подходе к точке xo существуют и равны между собой (т.е. A=B), то такая точка xo называется точкой разрыва 1-ого рода устранимой. При этом функцию y=f(x) можно доопределить «по непрерывности».

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или стремится к бесконечности, то точка xo называется точкой разрыва 2-ого рода.

Пример: исследовать функцию на непрерывность

Точка разрыва функции x=1. Найдём правый и левый пределы при подходе к x=1

Правый и левый пределы, найденные с помощью 1-ого замечательного предела, равны между собой, т.е. А=В=1. Следовательно, точка x=1 – точка разрыва первого рода устранимая.

Часто при нахождении односторонних пределов приходится делать переход от предела при x→xo справа и слева, как в вышеприведенном примере, к пределу по бесконечно малой положительной величине α (α>0, α→0). При этом заменяют x на x=xo +α или x=xo –α. Так как в вышеприведенном примере точка x=1 – точка устранимого разрыва, то функцию можно доопределить «по непрерывности»: при х≠1 функция f(x)=sin(x-1)/(x-1), а при x=1 функция f(x)=1.

Пример: найти точки разрыва функции

Точкой разрыва является х=-3. Вычисляя правый и левый пределы функции в окрестности х=-3, определим тип точки разрыва

х=-3-точка разрыва второго рода. График функции в окрестностях точки разрыва будет иметь вид:

Рис.3

Пример: исследовать функцию на непрерывность f(x) = |3x-5|/(3x-5)

Точкой разрыва является x=5/3. Найдем правый предел при x→5/3

т.к.|3α| = 3α при α>0.

Найдем левый предел при x→5/3

т.к. |3α| - величина неотрицательная, а -3α<0 при α>0. Следовательно, учитывая, что правый и левый пределы конечны, но не равны между собой, точка x=5/3 – точка разрыва 1-ого рода неустранимая.

Вычисление производных от сложных функций, функций, заданных неявно и в параметрической форме.

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления. Производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную в некоторой точке, называют дифференцируемой в данной точке. Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

Общепринятые обозначения производной функции в точке:

Производная функции в точке , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

Если функция задана в параметрической форме:

(2)

Таблица производных основных функций

Основные правила нахождения производных.

1 Производная от константы равна нулю.

2.Константу можно вынести за производной, то есть (c∙f(x))´=c∙(f(x))´.

3. Производная суммы любого числа функций равна сумме производных этих функций. Для трех функций, например, имеем:

4. Производная произведения двух функций равна

5. Производная частного двух функций равна

6. Пусть y=F(u), где u=φ(x), тогда y=F(φ(x)) – сложная функция и y´=F´(u)∙φ´(x).

Примеры вычисления производных для простых функций.

Пример: найти производную суммы функций, используя таблицу производных

После применения правила вычисления производной суммы образовались три производных. Первая производная табличная, вторая сводится к табличной после вынесения константы за знак производной, третья производная равна нулю, так как дифференцируется константа.

Пример: найти производную произведения функций

После применения правила дифференцирования произведения возникло две производные. Первая производная сводится к табличным производным в результате применения правила производной суммы. Вторая производная является табличной.

Пример: найти производную частного

После применения правила дифференцирования частного образовались две производные. Вторая производная табличная, а первая в результате использования правила дифференцирования суммы сводится к табличным производным.

Вычисление производных сложных функций.

Пример: вычислить производную от функции

Данную функцию можно представить как функцию от функции следующим образом:

Согласно правилу дифференцирования сложной функции имеем

Заметим, что все производные, возникшие после взятия производной от сложной функции, являются табличными. Подставляя далее вместо функции u=φ(х) её выражение, окончательно получим:

Обычно все указанное выше записывают в следующей укороченной форме:

Производные функций, заданных в параметрической форме.

Пример: пусть x=3t/(1+t²), y=3t²/(1+t²) – найдем производные от данных функций по аргументу t.

Тогда dy/dt = 6t/(1+t²)², а dx/dt = (3-3t²)/(1+t²)²,

В соответствии с формулой (2) для параметрически заданной функции окончательно получим: y´ = 6t/(3-3t²).

Пример: пусть x = ln t, y = t³, 0≤t<+∞

Найдем производные от вышеуказанных функций по аргументу t :

dx/dt = 1/t, dy/dt = 3t², следовательно, y´ = 3t³.

Производные для неявно заданных функций.

Говорят, что функция y = f(x) неявно задана уравнением F(x,y) =0, если для всех

X из области определения функции F(x, f(x)) = 0. ( 3 )

Для вычисления производной функции y=f(x) следует продифференцировать тождество (3) по X, рассматривая при этом левую часть как сложную функцию по параметру X. Затем следует полученное уравнение разрешить относительно y´.

Пример: ln(x+y) = x∙y

ln(x+y) – x∙y = 0 – неявно заданная функция

ln(x + y(x)) – x∙y(x) = 0 – дифференцируем сложные функции по аргументу X.

(1+y´)/(x+y) – (1∙y + x∙y´) = 0 - приводим выражение к общему знаменателю и приравниваем числитель полученной дроби нулю.

1 + y´ - (x + y) ∙(y +x∙y´) =0 – выделяем коэффициент при y´

y´∙ (1-x²-x∙y) = x∙y + y² - 1, в результате получим: y´ = (x∙y+y²-1)/(1-x²-x∙y).

Пример: найти производную y´, если 2y∙lny = x

2∙y(x)∙lny(x) – x = 0 - неявно заданная функция. Дифференцируем правую и левую часть тождества по параметру X.

2y´∙lny + 2y∙(1/y)∙y´ - 1 = 0 - выделяем коэффициент при y´

y´∙(2∙lny + 2) = 1, следовательно y´= 1/(2∙lny+2)