1.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов

Видно, что вал работает на совместное действие растяжения (сжатия), кручения и изгиба в вертикальной (ух) и горизонтальной (zx) плоскостях. Рассмотрим каждую деформацию отдельно, используя принцип независимости действия сил.

Определим опасную точку вала. Для этого установим, как меняются по длине вала внутренние силовые факторы, т.е. построим их эпюры.

Растяжение (сжатие). Вал нагружен двумя сосредоточенными продольными силами N₁ и реакцией R_Cx=N₁ в опоре С, которые вызывают на участке Cd сжатие. Построим эпюру нормальных сил ЭN.

Кручение. Два скручивающих момента Т₁ и Т₂ вызывают кручение на участке AD. Эпюру крутящих моментов ЭТ строим так же, как и при чистом кручении.

Изгиб в вертикальной плоскости ух. Эпюра ЭМ_z изгибающих моментов относительно оси z строится от сил Р_2y, R₁, R_Cy и R_By и изгибающего момента М_N1, действующих в вертикальной плоскости. Из уравнений статического равновесия определим R_Cy и R_By:

M_C(F_i)= –P_2yl₁+R_By l₁ +l₂+ l₃)–M_N1-R₁ l₁ +l₂)=0;

M_B(F_i)= P_2yl₂+ l₃)–R_Cy l₁ +l₂+ l₃)-M_N1+R₁l₃ =0.

откуда

H;

H.

Проверим правильность определений реакций. Для этого запишем уравнения статического равновесия в виде суммы проекций всех сил F_i на ось у:

Y(F_i)=–P_2y+R_Cy+R_By–R₁=-6755+5103.6+2597.8-946.4=0

Следовательно, реакции R_Cy и R_Ву найдены верно.

Так как балка нагружена только сосредоточенными силовыми факторами, то изгибающий момент М_z на всех участках будет постоянен или меняться по линейному закону. Вычислим изгибающие моменты M_z в сечениях А, С, D и В:

M_z^C= 0 Нм;

M_z^D= R_Cy l₁ =5103.6*0.25=1275.9 Нм;

M_z^A= R_Cyl₁ + l₂ )- P_2y*l₂ =5103.6*(0.25+0.4)-6755*0.4=615.34 Нм;

M_z^B= 0 Нм.

По полученным значениям строим эпюру ЭМ_z.

Изгиб в горизонтальной плоскости zx. Эпюра ЭМ_у изгибающих моментов относительно оси у строится от сил Р₁ и P_2z. Из уравнений статического равновесия определим реакции в опорах С и B (R_Cz и R_Bz):

M_C(F_i)= -P₁l₁ + l₂)+R_Bz l₁ +l₂ + l₃ )+P_2zl₁=0;

M_B(F_i)= –P_2zl₂ + l₃ ) –R_Cz l₁ +l₂ + l₃ )+P₁l₃ =0.

откуда

H;

H.

Для проверки правильности определения реакций запишем уравнения статического равновесия в виде суммы проекций всех сил F_i на ось z:

Z(F_i)=P_2z+R_Cz+R_Bz–P₁=3900-2052.63+752.63-2600=0

Следовательно, реакции R_Cz и R_Вz найдены верно.

Изгибающий момент М_у на всех участках будет постоянен или меняться по линейному закону, так как балка нагружена только сосредоточенными силовыми факторами. Вычислим изгибающие моменты M_у в сечениях А, С, D и В:

M_y^C=0;

M_y^D= R_Czl₁=-2052.63*0.25=-513.16 Нм;

M_y^A= R_Cz (l₁+l₂)+P_2zl₂=-2052.63(0.25+0.4)+3900*0.4=225.79 Нм;

M_z^B= 0.

По полученным значениям строим эпюру ЭМ_z.

Построение эпюры суммарных изгибающих моментов. Поскольку вал имеет круглое поперечное сечение, определим в сечениях величину суммарного изгибающего момента . В сечениях А, С,D и В их значения будут соответственно равны

По полученным данным построим эпюру суммарных изгибающих моментов ЭМ_И.

1.3. Расчет диаметра вала

Для определения опасного сечения находим величины эквивалентных моментов по третьей теории прочности . Тогда в сечениях А,C, D и В вала:

Анализ результатов показывает, что опасным является сечение С, в котором эквивалентный момент достигает максимального значения и равен М_{экв max}=1470.26 Нм.

Найдем допускаемое напряжение Так как сталь 12XH3A пластична, то за _пред принимаем _Т. Согласно [3, с.648] _Т=800 МПа, коэффициент запаса для пластичных материалов n=1.52. Примем n=2, тогда МПа.

Из условия прочности

,

где W_ос=– осевой момент сопротивления для круглого поперечного сечения диаметромd, определим расчетный диаметр вала

В соответствии с ГОСТ 6636-69 (ряд Ra40) округляем d_расч до ближайшего большего значения и принимаем d=34 мм.

Вычислим геометрические характеристики этого сечения:

- площадь поперечного сечения ;

- осевой момент инерции ;

- осевой момент сопротивления ;

- полярный момент инерции ;

- полярный момент сопротивления .

Рассмотрим опасное сечение вала, в котором действует суммарный изгибающий момент М_И=1375.23 Нм, крутящий момент Т=520 Нм и продольная сила N=820 Н.

Нормальные напряжения от изгиба _И определяются по формуле . На внешних волокнах в точках А и В они наибольшие и равныМПа.

Нормальные напряжения от растяжения [1] определим как МПа. Касательные напряжения по сечению меняются по линейному закону [1] (r – расстояние от центра сечения до точки, в которой определяем напряжение). Максимальные напряжения возникают на контуре сечения

МПа.

Построим эпюры этих напряжений Э_И, Э_р, Э.

В опасной точке А имеет место плоское напряженное состояние. В этой точке действуют максимальные эквивалентные напряжения _{экв max}. Определим их по III теории прочности:

МПа

Видно, что условие прочности _{экв max}[] выполняется,

так как 378.42 МПа<400 МПа.

Определим недогрузку вала , учитывая, что диаметр вала выбран больше расчетного:

.

Недогрузка _ меньше 15%. Таким образом, диаметр вала d=34 мм из условия статической прочности подобран правильно.