(3 Балла) Сколько натуральных значений параметра a меньших 100 дают ровно шесть целочисленных решений неравенства .
Решение.
Решим неравенство методом интервалов
Очевидно, что
решением неравенства являются все точки
отрезка
,
он содержит пять целых точек: -1, 0, 1, 2, 3.
Если
,
то новую шестую точку нам не удастся
добавить к решению, поэтому
,
так как по условию задачи, а
натуральное, то нас интересуют только
значения
.
Всего существует 97 натуральных значений
параметра а меньших 100.
Ответ. 97.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Баллы |
Критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым ответом |
3 |
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления. Получен верный ответ. |
2,5 |
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Возможно, допущена описка или негрубая вычислительная ошибка. |
2 |
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления. Получен не верный ответ из-за подсчета числа значений а в верно найденном диапазоне. |
1 |
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Получен не верный ответ из-за неправильной оценки концов интервала. |
0,5 |
Есть небольшие подвижки в решении. |
0 |
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок. |
Текстовые задачи
Задача 1 (1 балл)
На рисунке жирными точками показана цена унции золота на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 11 по 27 июля 2000 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – цена унции золота в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за указанный период цена была не выше чем 282 долларов за унцию, но не ниже чем 278 долларов.
Решение: Не выше чем 282 долларов во все дни, кроме 13 и 14, т.е. 11 дней; ниже чем 278 1 день 21 числа. 11-1=10 дней (11, 12, 17, 18, 19, 20, 24, 25, 26, 27).
Ответ: 10 дней.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
1 балл |
Получен правильный ответ. |
0,5 баллов |
Указано количество дней, когда цена была больше 278 долларов и меньше 282 (6), не учтены дни, когда цена была равна 282 или 278 долларам. |
0 баллов |
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев. |
Задача 2 (2 балла)
Мебельный салон заключает договоры с производителями мебели. В договорах указывается, какой процент от суммы, вырученной за продажу мебели, поступает в доход мебельного салона.
Фирма-производитель |
Процент от выручки, поступающий в доход салона |
Примечания |
«Альфа» |
7% |
Изделия ценой до 20 000 руб. |
«Альфа» |
3,5% |
Изделия ценой свыше 20 000 руб. |
«Бета» |
4% |
Все изделия |
«Омикрон» |
6% |
Все изделия |
В прейскуранте приведены цены на четыре софы. Определите, продажа какой софы наиболее выгодна для салона. В ответе запишите, сколько рублей поступит в доход салона т продажи этой софы.
Фирма-производитель |
Изделие |
Цена |
«Альфа» |
Софа «Анна» |
15 000 руб. |
«Альфа» |
Софа «Алефтина» |
22 000 руб. |
«Бета» |
Софа «Аркадия» |
19 000 руб. |
«Омикрон» |
Софа «Анастасия» |
16 500 руб. |
Решение:
Ответ: 1050.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
2 балл |
Решение выполнено верно. Получен правильный ответ. |
1 баллов |
Допущена описка или арифметическая ошибка. В силу чего может быть получен неверный ответ. |
0 баллов |
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев. |
Задача 3 (2 балла)
Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 140 литров она заполняет на 8 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 84 литра?
Решение:
|
А (литров) |
р (л/мин) |
t (мин) |
1 труба |
140 |
x |
|
2 труба |
84 |
x+4 |
|
Ответ: 10 литров в минуту.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
2 балл |
Решение выполнено полностью: составлено и верно решено уравнение. Получен правильный ответ. |
1 баллов |
Верно составлено уравнение, но оно не решено или при решении уравнения допущена описка или арифметическая ошибка. |
0 баллов |
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев. |
Задача 4 (3 балла)
Поезд, идущий с постоянной скоростью из пункта А в пункт В, был задержан у семафора на 8 минут. Расстояние от семафора до пункта В равно 40 км. При каких значениях первоначальной скорости поезд прибудет в пункт В не позже запланированного срока, если после задержки он увеличил скорость на 10 км/ч.
Решение:
С – пункт остановки.
8 мин =
ч.
|
V (км/ч) |
t (ч) |
S (км) |
АС |
x |
|
S |
СВ |
x+10 |
|
40 |
АС план |
x |
|
S+40 |
Знаменатель дроби является положительным числом.
Другой способ решения:
Обозначим место, где располагается симофор пункт С.
Так как участок АС поезд проходит и в
том и в другом случае одинаково, то
разница произойдет только на участке
СВ с учетом остановки. Составим неравенство
только по участку СВ:
Но x>0 следовательно скорость поезда должна быть не больше 50 км/ч.
Ответ: Не больше 50 км/ч
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
3 балла |
Обоснованно получен правильный ответ. |
2 балла |
При решении допущена описка или арифметическая ошибка. |
1 балл |
Неравенство составлено правильно, но единицы измерения не приведены в соответствие. |
0 баллов |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Задача 5 (4 балл)
В двух банках имеется раствор соли. Общий объем растворов 10 литров, а общее количество соли 80 граммов. В первую банку добавили 1 литр воды, а во вторую добавили 60 граммов соли. В результате концентрация раствора в первой банке составила 4 г/л, а во второй – 20 г/л. Сколько граммов соли было первоначально в первой банке?
Решение:
|
mсм(л) |
С (г/л) |
mв (г) |
1 раствор |
x |
|
y |
2 раствор |
10-x |
|
80-y |
|
mсм(л) |
С (г/л) |
mв (г) |
1 раствор |
x |
|
y |
вода |
1 |
|
0 |
Новый раствор |
x+1 |
4 |
y |
|
mсм(л) |
С (г/л) |
mв (г) |
2 раствор |
10-x |
|
80-y |
соль |
|
|
60 |
Новый раствор |
10-x |
20 |
80-y+60 |
Ответ: 20 граммов.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
4 балла |
Решение верное: составлена система уравнений; полученная система решена. Обоснованно получен правильный ответ. |
3 балла |
Верно составлена система уравнений; при решении системы уравнений допущена описка или арифметическая ошибка. В результате может быть получен неверный ответ. Или составлена система уравнений; полученная система решена, но не вычислены искомые величины. |
2 балл |
Верно составлена система уравнений, но она не решена. |
1 балл |
Верно составлено только одно уравнение системы. |
0 баллов |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |