1) Докажите, что из отрезков можно построить треугольник.
2) Найдите один из углов этого треугольника.
Ответ: 2)
Решение 1) Заметим, что
большая
сторона исходного треугольника, так
как лежит против тупого угла. То
есть
Так как в любом треугольнике сумма двух
сторон больше третьей, то
и, следовательно, наибольший из отрезков
отрезок длины
Для того, чтобы из трех отрезков можно
было построить треугольник, необходимо
и достаточно, чтобы сумма двух меньших
была больше длины большего. То есть
что
справедливо в силу
2) По теореме косинусов из исходного
треугольника
В новом треугольнике
Баллы |
Общие критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым ответом |
4 |
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Верно обоснованы все моменты решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления. Получен верный ответ. |
3 |
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допустимы 1 описка и/или негрубая вычислительная ошибка, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате описки или ошибки возможен неверный ответ. |
2 |
Доказан пункт 1. Сделана попытка применения теоремы косинусов. Или пункт 1 не доказан, но правильно использован в дальнейшем. |
1 |
Доказан пункт 1. |
0 |
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла. |
Квадратный трехчлен и теорема Виета
(1 Балл) Какой из графиков иллюстрирует решение уравнения
Решение.
Старший коэффициент положительный, следовательно, ветви графика направлены вверх. Уравнение имеет отрицательный дискриминант, следовательно, не имеет корней. Поэтому правильный график размещен под цифрой 3.
Критерии оценки.
1 балл |
Верно определено направление ветвей параболы, определено, что корней квадратное уравнение не имеет. Приведен правильный ответ. |
0,5 балла |
Допущена арифметическая ошибка, в результате которой данные изменились. С учетом ошибки задание решено верно. |
0 баллов |
Не выполнено ни одно из перечисленных выше условий |
(2 Балла) Точка с координатами (-1;2) является вершиной параболы . Найти коэффициенты a и b.
Решение. Т.к. точка с координатами
(-1,2) принадлежит параболе
,
подставим
и
,
,
,
.
Абсцисса вершины параболы
находится по формуле
Решим систему из двух уравнений
. Отсюда
.
Ответ: , b=-2.
Критерии оценки.
2 балла |
Верно записаны два уравнения. Получен правильный ответ. |
1,5 балла |
Верно записаны два уравнения. Получен неправильный ответ из-за арифметической ошибки. |
1 балл |
Координаты точки подставлены в уравнение параболы и правильно записана формула абсциссы вершины параболы. |
0,5 балла |
Координаты точки подставлены в уравнение параболы или правильно записана вершина параболы. В остальном задача решена неверно. |
0 баллов |
Не выполнено ни одно из перечисленных выше условий |
(2 балла) Не решая уравнение , вычислите значение выражения Решение.
По теореме Виета сумма корней этого
приведенного квадратного уравнения
,
а произведение
.
Возведем в квадрат обе части равенства
,
раскрываем скобки:
;
выражаем искомую сумму:
.
Подставим
Тогда 
Ответ: 31.
Критерии оценки.
2 балла |
Верно вычислена сумма квадратов (получен правильный ответ). |
1,5 балла |
Правильно использована т.Виета (записаны сумма и произведение корней), описана идея получения суммы квадратов, допущена арифметическая ошибка. |
1 балл |
Верно записаны сумма и произведение корней уравнения или получен правильный ответ с использованием дискриминанта |
0,5 балла |
Правильно использована т.Виета для заданного уравнения (записаны сумма или произведение корней). В остальном задача решена неверно. Получены корни уравнения с использованием дискриминанта. |
0 баллов |
Не выполнено ни одно из перечисленных выше условий |