Глоссарий к главе 2

Гамильтонов цикл – это цикл, проходящий по всем вершинам графа один раз. При этом сам граф называют гамильтоновым графом.

Граф подразбиений S(G) – это граф, каждое ребро которого подразбито путем введения дополнительной вершины.

Дерево – связный граф без циклов. В дереве любые две вершины связаны единственной цепью. Любое дерево имеет n–1 ребро.

Диаметр графа – это максимальное расстояние между любыми двумя его вершинами.

Диаметрально простые цепи – это кратчайшие простые цепи, связывающие две вершины графа с максимальным расстоянием между ними.

Длиннейшие простые цепи в графе называют диаметральными по протяженности. Их длина называется диаметром протяженности. Для каждой вершины существуют самые длинные простые цепи с концами в этой вершине. Их длина называется числом протяженности для данной вершины графа.

Длина цепи – это число входящих в нее ребер.

Жорданова кривая – непрерывная кривая на плоскости, не имеющая самопересечений. Замкнутая жорданова кривая – это жорданова кривая, начало и конец которой совпадают.

Жордана теорема: Если L – замкнутая жорданова кривая, а x_i, x_j две различные точки, расположенные на ней, то любая жорданова кривая, соединяющая x_i и x_j, должна лежать целиком внутри L или вне L (за исключением точек x_i, x_j) или пересекать L в некоторой точке, отличной от точек x_i, x_j.

Задача о коммивояжере формулируется следующим образом. Имеется n – городов, расстояния между которыми известны. Коммивояжеру необходимо посетить каждый город по одному разу и вернуться в исходный пункт, пройдя при этом минимально возможное расстояние.

Задача о лабиринте в терминах теории графов формулируется как задача отыскания в связном графе такого маршрута, который начинается в заданной вершине и приводит в искомую вершину, причем маршрут должен содержать минимальное число ребер.

Задача построения кратчайшего покрывающего дерева, когда при соединении множества вершин на плоскости (обычно в областях прямоугольной конфигурации) разрешается использование дополнительных точек соединения, называется задачей Штейнера (ЗШ). Дополнительные точки, вводимые в процессе построения кратчайшего покрывающего дерева, называют точками Штейнера (ТШ).

Корень – это начальная вершина, из которой выходят ребра – ветви дерева.

Кэли теорема: существует ровно n^n-2 различных помеченных деревьев с n вершинами.

Лес – множество деревьев графа.

Максимальным удалением в графе от некоторой произвольной вершины называется максимальное расстояние между рассматриваемой вершиной и любой другой вершиной графа.

Матрица геометрии – это часть матрицы расстояний, из которой исключаются элементы, если вершины, которые им соответствуют, являются не смежными в рассматриваемом графе. Для построения матрицы геометрии необходимо каждый элемент матрицы расстояний умножить на соответствующий элемент матрицы смежности.

Функцию расстояний для графа обычно задают матрицей расстояний или ее списком.

Метрика графа основана на понятии расстояния.

Покрывающее или остовное дерево – дерево, число вершин которого равно числу вершин графа, из которого выделено это дерево. Число остовных деревьев в полном графе равно n^n-2.

Полуэйлеров граф – это граф, в котором существует незамкнутая цепь, проходящая через каждое ребро графа только один раз. Связный граф G является полуэйлеровым, когда в нем не более двух вершин имеют нечетные локальные степени.

Протяженность между вершинами графа – это максимальная из длин, связывающих эти вершины.

Радиальная цепь – любая кратчайшая цепь от центра до максимально удаленной от него вершины графа.

Радиус графа – это максимальное удаление от центра графа.

Расстояние между вершинами графа – это длина кратчайшей цепи, соединяющей эти вершины.

Соседними называют вершины и ребра графа в случае, если они смежны и инцидентны.

Тотальный граф – граф, у которого множеством вершин является объединение множества вершин и множества ребер исходного графа, и две вершины считаются смежными тогда и только тогда, когда они являются соседними в исходном графе.

Центром графа называется вершина графа, для которой величина максимального удаления принимает минимальное значение.

Эйлеров граф – это конечный граф, который является связным и все локальные степени его вершин четные.

Эйлеров цикл – это цикл, который проходит по всем ребрам графа один раз. Если в графе существует эйлеров цикл, то, проходя по его ребрам, можно нарисовать эйлеров граф на бумаге, не отрывая карандаша.