5.3. Понятия образа и прообраза при соответствии

Введем два новых понятия.

Пусть Г = <G, X, Y> и задано множество А  Х. Тогда образом множества А при соответствии Г называется подмножество тех элементов Y, которые соответствуют элементам из А. Запись Г(А) = {yY/xA, < x, y >G} является определением образа множества А при соответствии Г.

Рассмотрим пример. Задано соответствие Г = < G, X, Y >, X = {1, 2, 3}, Y = {a, b, c}, G = {<1, a>, <1, b>, < 2, c >, < 3, b >, < 3, a >} и задано произвольное множество A  X, A = {1, 3}. Тогда образом данного множества А является Г(А) = {a, b} (рис.5.9).

На графическом языке Г(А) — это множество концов стрелок, выходящих из элементов множества А. Образ множества А можно также определить следующим образом:

Г(А) = пр₂[(A  Y)  G].

Если Г₁ и Г₂ —произвольные соответствия, то справедливо выражение

(Г₁•Г₂)(А) = Г₂(Г₁(А)).

Рис.5.9. Изображение образа множества А при соответствии Г

Прообразом множества В при соответствии Г = <G, X, Y> называется множество тех элементов области отправления, каждому из которых соответствует какой-нибудь элемент множества В. Г^-1(В) обозначение прообраза. Запись Г^-1(В) = { xX/yВ, < x, y >G }} — является определением прообраза множества В при соответствии Г.

Прообраз множества В можно также определить следующим образом:

Г^-1(В) = пр₁[G(X  В)].

Следовательно, прообраз на графическом языке представляет собой множество начал стрелок графика G.

Пример 5.7. Пусть задано соответствие Г = < G, X, Y > = <{ < 1, a >, < 1, b >, < 1, c >, < 2, a > }, { 1, 2 }, { a, b, c }>, В  Y, В = { a, c }. В этом случае прообраз множества В - Г^-1(В) = { 1, 2 } (рис.5.10).

Рис. 5.10. Графическое представление прообраза множества В

Введем понятие сужения и продолжения соответствия. Пусть В — произвольное множество, В  Х. Тогда сужением соответствия Г на множество В называется соответствие:

Г_B = < G(B  Y), X, Y >.

Приведем пример сужения соответствия. Дано Г = < G, X, Y >, X = { 1, 2 }, Y = { a, b, c }, G = { <1, a>, <1, b>, < 1, c >, < 2, b >, < 2, с > }, В = { 1 }. Тогда B  Y = { < 1, a >, < 1, b >, < 1, c > } и сужение соответствия на множество B Г_B = <G  (B  Y), X, Y> = <{ < 1, a >, < 1, b >, < 1, c > }, {1, 2}, {a, b, c}>. Построим это сужение (рис.5.11).

Рис. 5.11. Пример сужения соответствия

Двойственным к понятию сужения является продолжение соответствия. Пусть заданы соответствия Г = <G, X, Y> и  = <H, Z, U>, причем G  H, Z = X, U = Y. Тогда соответствие  является продолжением соответствия Г. Из этого следует, что произвольный элемент b, соответствующий произвольному элементу a в Г, обязательно соответствует тому же самому элементу в , но не наоборот.

b  a.

Пример 5.8. Пусть заданы соответствия Г = < G, X, Y >, X = {1, 2, 3}, Y = {a, b, c, d}, G = {<1, a>, <1, b>, <2, c>, <3, d>} и  = < H, Z, U >, X = {1, 2, 3}, Y = {a, b, c, d}, H = {<1, a>, <1, b>, <2, b>, <2, c>, <3, a>, <3, d>}. В этом случае соответствие  является продолжением соответствия Г. На рис. 5.12 показано соответствие Г, а на рис.5.13 - его продолжение – соответствие .

Рис. 5.12. Соответствие Г

Рис. 5.13. Соответствие  (Продолжение соответствия Г)

ПРИМЕРЫ:

Пример 5.9. Пусть задано соответствие Г = <X, Y, F>; X = {1, 2, 3}; Y = {a, b, c, d}; F = {<1, a>; <1, c>; <2, b>; <2, c>; <3, d>}. Найти образ элемента 1  X и множества А = {1,2} на заданном соответствии.

Ответ: Образом элемента 1 будет множество Г(1) = {a, c}. Образом же множества A является следующее множество элементов: Г(A) = {a, b, c}.

Пример 5.10. Для соответствия из предыдущего примера найти прообраз элемента a  Y и множества B = {a, b, c}.

Ответ: Прообразом элемента a будет множество Г^-1(a) = {1}. Прообразом же множества B = {a, b, c} будет являться множество Г^-1(B) = {1, 2}.