17.3.2. Эвристики для определения планарности

Все существующие методы определения планарности разбивают на два класса. В первый класс входит методы, основанные на проверке критериев:

а) Понтрягина – Куратовского.

б) Харари – Татта.

в) Уитни.

г) Существования абстрактно – двойственного графа.

д) Мак – Лейна.

Во второй класс входят эвристические методы в той или иной степени использующие критерии первого класса это:

a) Алгоритм Бадера.

b) Циклические методы.

c) Матричные методы.

d) Комбинированные методы.

Так как неорграф планарен тогда и только тогда, когда все его связные компоненты планарны, то достаточно рассматривать лишь связные неорграфы. Очевидно, что неорграф планарен тогда и только тогда, когда все его двусвязные компоненты планарны. Поэтому, если неорграф (далее граф) является разделимым, можно разложить его на двусвязные компоненты и рассматривать их отдельно. Поскольку кратные ребра и петли всегда можно добавить к графу или удалить из него без нарушения свойств планарности, достаточно рассматривать только простые графы.

Итак, для определения планарности будем предполагать, что исходный граф неориентированный, простой и двухсвязный. Согласно теореме Понтрягина – Куратовского неплоский граф имеет, по крайней мере, 9 ребер.

Сущность алгоритма заключается в следующем. Записывается матрица смежности, анализируя которую определяются пресечения ребер графа. Затем строится граф (матрица) пересечений. Далее определяется двудольность (бихроматичность) графа пересечения.

Теорема 17.7 (Бадер). Если граф пересечений двудольный, то исходный граф планарный.

Доказательство следует из того, что в двудольном графе можно выделить два подмножества несмежных вершин У’, У’’, таких, что У’  У’’ = У и У’  У’’ = . Граф пересечений G’ = (У, V) для графа G = (X, U) определяется так, что У  U’, где U’ - подмножество пересекающихся ребер.

Алгоритм рассмотрим на примере. Пусть дан G = (У, V), имеющий известный гамильтонов цикл (ГЦ). Расположим его на плоскости (рис 17.14). По известной методике определим пересечения ребер внутри ГЦ. Далее строится граф пересечений G’ = (У,V) (рис. 17.15). Теперь необходимо воспользоваться теоремой Бадера и определить является ли граф G’ двудольным или нет.

Рис. 17.14. Граф G

Рис. 17.15. Граф пересечений G`

Согласно теореме Кэнига граф двудолен, если в нем нет циклов нечетной длины. Поэтому для определения двудольности графа G’ можно предложить несколько основных эвристик:

Э1. Определить все циклы графа пересечений G’, если среди них нет нечетных, то исходный граф G планарен.

Э2. Проверить, является ли граф пересечений G’ деревом. Если да, то G’ – двудольный, так как всякое дерево двудольный граф. Следовательно, если G’ – дерево, то G – планарный граф.

Э3. Определить систему МВУП (независимых подмножеств) графа G’. Если среди семейства МВУП найдутся, такие два подмножества П₁, П₂, что

П₁  П₂ = У, П₁  П₂ = ,

то граф G’ - двудольный, а G - планарный.

Например, для графа G’ (рис. 17.15)

П₁ = {y₁, y₂, y₄, y₅}, П₂ = {y₆, y₇, у₃, y₈, y₉}, G’ = (У, V), П₁  П₂ = У, П₁  П₂ = .

Граф G’, представленный в виде двудольного, показан на рис. 3.16. Очевидно, что граф G – планарный (рис. 3.14). Так ребра G, соответствующие П₁, можно расположить без пересечений внутри ГЦ, а ребра, соответствующие П₂ – внутри ГЦ, или наоборот. Плоское изображение графа (рис. 17.14) показано на рис. 17.17).

Рис. 17.16. Двудольный граф G

Рис. 17.17. Плоское преображение графа G

Основная стратегия определения планарности состоит в том, чтобы в графе G найти цикл С, разместить С на плоскости в виде простой замкнутой кривой, разложить оставшуюся часть G – C на непересекающиеся по ребрам пути и затем попытаться разместить внутри С либо целиком вне С. Если это удалось для всего графа G, то он планарен, в противном случае он не планарен. Трудность реализации алгоритма заключается в том, что при размещении пути можно выбрать либо внутренность, либо внешность С и необходимо обеспечить, чтобы неправильный выбор области размещения на ранней стадии не устранял возможности размещения последующих путей. Это может привести к неверному заключению, что планарный граф непланарен.