Примеры решения задач

Пример 1. Пусть задан граф G, изображенный на рис. 16.24. Решить задачу коммивояжера для заданного графа, используя алгоритм Хелда─Карпа.

Рис. 16.24. Исходный граф

Решение: Построим матрицу расстояний заданного графа:

.

1. В соответствии с заданным алгоритмом определяем прямые пути из вершины x₁ в вершину x_j, где j = (2, 3, 4): d₁₂ = 3; d₁₃ = 1; d₁₄ = 4.

2. Теперь определяем пути из вершины x₁ в вершину x_j через одну промежуточную вершину:

d³₁₂ = d₁₃ + d₃₂ = 1 + 5 = 6; d³₁₄ = d₁₃ + d₃₄ = 1 + 4 = 5; d²₁₃ = d₁₂ + d₂₃ = 3 + 5 = 8;

d²₁₄ = d₁₂ + d₂₄ = 3 + 6 = 9; d⁴₁₂ = d₁₄ + d₄₂ = 2 + 6 = 8; d⁴₁₃ = d₁₄ + d₄₃ = 2 + 4 = 6.

3. Определяем пути из вершины x₁ в вершину x_j через две промежуточные вершины:

d^3,4₁₂ = d³₁₄ + d₄₂ = d₁₃ + d₃₄ + d₄₂ = 1 + 4 + 6 = 11; d^2,4₁₃ = d²₁₄ + d₄₃ = d₁₂ + d₂₄ + d₄₃ = 3 + 6 + 4 = 13; d^2,3₁₄ = d²₁₃ + d₃₄ = d₁₂ + d₂₃ + d₃₄ = 3 + 5 + 4 = 12;

d^4,3₁₂ = d⁴₁₃ + d₃₂ = d₁₄ + d₄₃ + d₃₂ = 2 + 4 + 5 = 11; d^4,2₁₃ = d⁴₁₂ + d₂₃ = d₁₄ + d₄₂ + d₂₃

= 2 + 6 + 5 = 13; d^3,2₁₄ = d³₁₂ + d₂₄ = d₁₃ + d₃₂ + d₂₄ = 1 + 5 + 6 = 12.

4. Теперь к полученной длине пути добавляем длину возвращения в исходный пункт:

d₁₂ = d^3,4₁₂ (или d⁴³₁₂) + d₂₁ = 11 + 3 = 14; d₁₃ = d²⁴₁₃ (или d⁴²₁₃) + d₃₁ = 13 + 1 = =14; d₁₄ = d²³₁₄ (или d³²₁₄) + d₄₁ = 12 + 2 = 14.

Таким образом, в результате работы алгоритма выяснилось, что длина пути коммивояжера при любом варианте обхода вершин графа одинакова и равна 14.

Пример 2. Пусть задан граф G = (X, U). Решить задачу о коммивояжере для заданного графа геометрическим методом.

Решение: Зададим граф G = (X, U) матрицей расстояний, а поскольку граф неориентированный, то для его однозначного задания вполне достаточно треугольной матрицы

		1	2	3	4	5	6
R =	1		40	29	66	52	36	.
	2			41	63	37	50
	3				38	48	42
	4					28	56
	5						32
	6						

1. Определяем по матрице R элемент с максимальным весом. Это элемент r₁₄ = 66. Вершины x₁ и x₄ фиксируем.

2. Строим треугольники с основанием x₁ – x₃ (рис. 16.25,а).

Вычисляем периметры получившихся треугольников:

П₁₂₄ = 40 + 63 = 103;

П₁₃₄ = 29 + 38 = 67;

П₁₅₄ = 52 + 28 = 80;

П₁₆₄ = 36 + 56 = 92.

3. Выбираем треугольник П₁₂₄, имеющий максимальную длину. Фиксируем вершины x₁, x₂, x₄. Выделяем два звена L₁ = (x₁ – x₄) и L₂ = (x₁ – x₂ и x₂ – x₄) (рис. 16.25, б).

а б

Рис. 16.25. Построение пути коммивояжера а – шаг 1; б – шаг 2

4. Подсчитываем значения R для вершин x₃, x₅, x₆.

а) Для вершины x₃:

R₁₂ = r₁₃ + r₃₂ - r₁₂ = 29 + 41 - 40 = 30;

R₁₄ = r₁₃ + r₃₄ - r₁₄ = 29 + 38 - 66 = 1;

R₂₄ = r₂₃ + r₃₄ - r₂₄ = 41 + 38 - 63 = 16.

б) Для вершины x₅:

R₁₂ = r₁₅ + r₅₂ - r₁₂ = 52 + 37 - 40 = 49;

R₁₄ = r₁₅ + r₅₄ - r₁₄ = 52 + 28 - 66 = 24;

R₂₄ = r₂₅ + r₅₄ - r₂₄ = 37 + 28 - 63 = 2.

в) Для вершины x₆:

R₁₂ = r₁₆ + r₆₂ - r₁₂ = 36 + 50 - 40 = 46;

R₁₄ = r₁₆ + r₆₄ - r₁₄ = 36 + 56 - 66 = 26;

R₂₄ = r₂₆ + r₆₄ - r₂₄ = 50 + 56 - 63 = 43.

5. В результате проведенных подсчетов получилось, что вершина x₅ должна быть отнесена к отрезку x₂ – x₄, вершины x₃ и x₆ относятся к отрезку x₁ – x₄. Следовательно, заменяем отрезок x₂ – x₄ двумя отрезками x₂ – x₅ и x₅ – x₄. Сравниваем полученные значения R₁₄ для вершин x₃ (R₁₄ = 1) и x₆ (R₁₄ = 26). Вершину (x₃), соответствующую меньшему из двух значению R₁₄, оставляем, а через вершину x₆ строим обход x₁ – x₆ и x₆ – x₄ (рис. 16.25, в). После чего переходим к пункту 6.

6. Для вершины x₃ подсчитываем значения R₁₆ и R₆₄, для того чтобы определить к какому из этих двух отрезков она должна быть отнесена (рис. 16.25,г).

Для вершины x₃:

R₁₆ = r₁₃ + r₃₆ – r₁₆ = 29 + 42 – 36 = 35;

R₆₄ = r₆₃ + r₃₄ – r₆₄ = 42 + 38 – 56 = 24.

Вершину x₃ отнесем к отрезку x₄ – x₆. После этого шага все вершины графа рассмотрены.

в г

Рис. 16.25. Построение пути коммивояжера в – шаг 3; г – шаг 4

7. В результате мы получили решение задачи о коммивояжере (рис. 16.25, д).

Длина построенного маршрута коммивояжера равна:

r₁₂ + r₂₅ + r₅₄ + r₄₃ + r₃₆ + r₆₁ = 40 + 37 + 28 + 38 + 42 + 36 = 221.

д

Рис. 16.25. Построение пути коммивояжера д – результат