Модуль 1. Основы Теории множеств (2 кредита)

Великий ученый Г.Кантор является основателем теории множеств. Теория множеств в настоящее время стала краеугольным камнем современной дискретной математики, тем базисом, на котором основываются все дальнейшие дисциплины информатики и разрабатываются новые информационные технологии. Теория множеств дала единые методы для изучения конечных и бесконечных систем предметов. Причем множество относится к числу простейших. Определение множества может быть только разъяснено, но не определено. Понятие множества связано с абстракцией. Объединяя предметы в множество и создавая новый предмет, мы игнорируем все свойства множества, зависящие от свойств входящих в него предметов, кроме свойств отличаться от всех других множеств. Это позволяет легко формализовать объект и упростить процесс подготовки реализации задачи на ЭВМ.

Комплексная цель и задачи изучения модуля

Цель Модуля 1 – дать представление о фундаментальных понятиях, базовых принципах и законах основного раздела дискретной математики - теории множеств, рассмотреть постановку основных задач и проблем, изучить вопросы методологии решаемой проблемы.

В результате освоения Модуля 1 студент должен быть готов продемонстрировать следующие компетенции и уровень подготовки:

1. знание основных понятий теории множеств;

2. умение применять на практике законы и правила теории множеств, доказывать справедливость тождеств теории множеств;

3. навыки решения практических задач, умение представить решаемую конкретную практическую задачу в виде абстрактной математической модели, пригодной для дальнейшего формального решения с помощью математического аппарата теории множеств.

Самостоятельная работа предусматривает проработку лекций (1,2 часа в неделю), тестирование, а также изучение литературы, формулировку цели работы, объекта и задач исследования, методов, источников и средств библиографического поиска, использованных для достижения поставленной цели.

Модуль включает в себя формулировку цели, проблемное изложение программного лекционного материала, тестовые вопросы для самоконтроля и список литературы. В процессе самостоятельного изучения представленных методических материалов происходит формирование указанных компетенций.

Само собой понятное и очевидное

Не следует определять:

Определение лишь затемнит его.

Б. Паскаль

Глава 1. Исчисление множеств

Множество, определение и способы задания множеств, высказывания и основные операции над высказываниями, элемент множества, включение множеств, кванторы существования и общности

ЦЕЛИ

Освоив эту главу, студенты должны:

• знать способы задания множеств;

• уметь решать задачи на включение и невключение множеств;

• знать понятие кванторов существования и общности;

• уметь строить таблицы истинности высказываний;

• знать основные свойства множеств;

1.1. Понятие множества

Более общего понятия, чем множество, в математике нет. Оно является исходным, первоначальным и, к сожалению, неопределенным понятием.

Основатель теории множеств — немецкий математик Георг Кантор (1845-1918). По его определению:

Множество — это любое объединение в одно целое М определенных, вполне различимых объектов m из нашего восприятия или мысли, которые можно считать элементами из М. Неформально можно сказать, что множество — это многое, мыслимое как единое.

Понятию множества в математике соответствуют семейство, совокупность, система, класс, область и т.д. Объекты, составляющие множества, могут иметь любую природу. Например, мы можем говорить о множестве живущих на Земле людей, множестве планет солнечной системы, множестве букв русского алфавита, множестве целых чисел. Часто объекты объединяются в множество по какому-либо общему признаку. Обозначаются множества прописными латинскими буквами A, B, C и т.д.

Предметы, составляющие исследуемое множество, называются его элементами. Например, запись A = {x, a, b, c, d} означает, что множество A состоит из элементов x, a, b, c, d. Элементами множества могут быть буквы, цифры, слова, тексты, целые алфавиты, другие множества и т.д. Обычно элементы множества обозначаются строчными латинскими буквами - a, b, c и т.д. Для обозначения принадлежности или не принадлежности элемента множеству используются символы ““ и ““ - соответственно. Запись хА означает, что элемент х принадлежит множеству А, а yB - элемент y не принадлежит множеству В.

По определению, множество состоит из различных элементов. Моделью множества можно считать коробку с расположенными в ней произвольным образом пронумерованными различными цифрами - кубиками. Например множества A = {1, 2, 3} и A = {2, 3, 1} описывают одно и то же множество. Следовательно, множество характеризуется тем, что все элементы в нем различны, а их местоположение не имеет значения. Фигурные скобки в записи множества обозначают, что элементы объединены в одно целое, например множество A.

Множества, не имеющие ни одного элемента, называются пустыми. Пустое множество обозначается знаком - . Например, множество людей, живущих на Луне, является пустым, множество целых чисел, для которых выполняется условие: "больше 5 и одновременно меньше 3", также является пустым.

Множество, содержащее один элемент, называется одноэлементным.

В данном пособии будем использовать следующие обозначения часто используемых в математике множеств:

N = {1, 2, 3, …} - множество натуральных чисел;

Z = {0, 1, 2, 3, …} - множество целых чисел;

Q = {x/y | x, y  Z, y  0} - множество рациональных чисел;

R = {все десятичные дроби} - множество вещественных(действительных) чисел.

С понятием множества тесно связано понятие «высказывание». Определим термин «высказывание». Высказывание — это предположение (предложение), которое считается истинным или ложным. Будем обозначать Истина — 1(И), Ложь — 0(Л).

Например, высказывание «два больше одного» - истинно, а высказывание «пять принадлежит множеству отрицательных чисел» - ложно.

Предикатом называется высказывание, содержащее переменные, принимающее значения 1 или 0 в зависимости от значения переменных. Например, высказывание x² = 4 является предикатом, так как оно истинно при x = 2 и ложно во всех остальных случаях.

К основным операциям над высказываниями относятся отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, эквивалентность, импликация.

1. Операция отрицания (инверсия). Обозначается следующим образом: — отрицание ”A”. Читается как «не “A”».

2. Операция дизъюнкции (логическое сложение, ИЛИ). Обозначается следующим образом: A  B. Читается как «A или B».

3. Операция конъюнкции (логическое умножение, И). Обозначается следующим образом: A & B, либо A  B. Читается как «A и B».

4. Операция импликации (логическое следствие). Обозначается следующим образом: A  B. Читается как «A влечет B» или «если А, то В».

5. Операция эквивалентности (логическое равенство). Обозначается следующим образом: A  B. Читается как «A равносильно B» или «А эквивалентно В».

Результат выполнения вышеуказанных операций определяется по таблицам истинности. Таблицы истинности этих высказываний приведены в части 3 настоящего учебного пособия.

Введем понятие кванторов существования и общности.

Квантор общности читается (для любого) и записывается так: . Запись вида (xX)(B(x)) означает, что для любого элемента x из множества X истинно высказывание B(x) об этом элементе.

Квантор существования читается (существует) и записывается так: . Запись вида (хX)(B(x)) означает, что существует хотя бы один элемент x из множества X, для которого истинно высказывание B(x) об этом элементе.

Множества бывают конечные и бесконечные.

Конечное множество - это такое множество, число элементов которого можно представить натуральным числом. Множество называется бесконечным, если оно не является конечным. Например, множество планет солнечной системы конечно, т.к. количество планет в этой системе равно 9, а множество целых чисел является бесконечным.