Использование отношений позволяет строить модели взаимосвязей между любыми обьектами в природе.

Почти каждому мудрому изречению cоответствует противоположное по смыслу при этом не менее мудрое.

Д. Сантаяна

5. Соответствия

Соответствия, определение и способы задания соответсвий, основные операции над соответствиями,инверсия и композиция соответствий, образ и прообраз соответствия, тождества с соответствиями, свойства соответствий, функция и ее свойства, принцип Дирихле, взаимно-однозначное соответствие, отображение.

ЦЕЛИ

Освоив эту главу, студенты должны:

• знать определение и способы задания соответствий;

• знать основные свойства соответствий;

• уметь выполнять операции над соответствиями;

• уметь решать задачи на доказательство тождеств с соответствиями;

• знать понятия функциональности, инъективности, сюръективности, всюду определенности;

• уметь определять и строить взаимно-однозначное соответствие;

• знать определение, способы задания и свойства функции.

5.1. Определение соответствия

Говорят, что между множествами X, Y установлено соответствие, если указано произвольное подмножество G  X  Y, которое обладает некоторыми свойствами. Соответствия обычно обозначают прописными буквами греческого алфавита, например, ,  и т.д. Тогда соответствие (Г) — это тройка множеств Г = < G, X, Y >, первая компонента которой является графиком G, вторая компонента является множеством X и третья — множеством Y.

Г = < G, X, Y >, G  X  Y — определение соответствия.

Множество Х задает область отправления соответствия, а множество Y — область прибытия соответствия.

Существует три способа задания соответствий: теоретический, матричный, графический. Теоретический способ заключается в задании графика соответствия и множеств X и Y.

Для графика соответствия справедливо:

G  X  Y  G = X  Y  G  X Y.

Часто область отправления называют областью определения соответствия (это проекция G на первую ось, пр₁G), а область прибытия - областью значений соответствия (проекция на вторую ось, пр₂G).

При задании матричным способом соответствие представляется в виде матрицы R_г, размером n x m, где строки представляют элементы множества X, столбцы - элементы множества Y, а элемент матрицы r_i,j принимает значения:

r_i,j = 1 - если существует кортеж <x_i, y_j> F;

r_i,j = 0, в противном случае.

Таким образом, соответствие можно представить в виде следующей матрицы:

Соответствие, заданное в графическом виде, представлено на рис. 5.1. В этом случае соответствие представляет собой график, вершинами которого являются элементы, принадлежащие множествам X и Y соответствия Г = <X, Y, F>, а кортежи вида <x_i, y_j>, принадлежащие множеству F, представляются на графике соответствия в виде стрелок, направленных от x_i к y_j.

Рис. 5.1. Пример задания соответствия в графическом виде

Соответствие, график которого F = X  Y, называется соответствием с полным графиком и обозначается Г_П. Соответствие, график которого F = , называется соответствием с пустым графиком и обозначается Г_.

Пусть задано соответствие Г= < G, X, Y > и G = {< a, b >}, X = {a}, Y = {b}. Тогда говорят, что элемент (b) соответствует элементу (a). При этом элемент апр₁G, и соответствие Г определено на этом элементе a. Элемент bпр₂G и является значением соответствия Г.

Если X = Y, то соответствие Г превращается в отношение. Можно сказать, что отношение является частным случаем соответствия. Все свойства и операции над отношениями можно переносить на соответствия.

ПРИМЕРЫ:

Пример 5.1. Г = < {< a,  >, < b,  >, < c,  >}, X = {a, b, c}, Y = {, } >. На рис. 5.2 представлено графическое задание этого соответствия.

Рис. 5.2. Пример графического задания соответствия Г

Пример 5.2. Пусть Г = <G, X, Y>, Х = {1, 2, 3}, Y = {4, 5} G = {<1,4>; <1,5>; <2, 4>; <2,5>; <3,4>; <3,5>}. Тогда пр₁G = {1, 2, 3}, пр₂G = {4, 5}. Как видно, это соответствие является полным на множестве X  Y, т.е. G = X  Y.

Пример 5.3. На предприятии имеется три машины A, B, C. Машина С находится в ремонте. В штате имеется три шофера X, Y, Z, из которых шофер X находится в отпуске. Распределение шоферов по машинам является примером соответствия. Пусть M является областью отправления, а N – областью прибытия соответствия Г = <G, M, N>.

Тогда M = {X, Y, Z }, N = {A, B, C}, а один из возможных способов распределения шоферов по автомашинам задает график G = {<Y, B>, <Z, A>}. В нашем случае G  M  N. На рис. 5.3 показано графическое представление этого соответствия.

Рис. 5.3. Графическое представление соответствия Г = <G, M, N>

Пример 5.4. Выражение <, , > - будет является соответствием.

Отметим следующее, если G  X  Y и G^-1  Y  X, то если <G, X, Y> — соответствие, то <G^-1, Y, X> является инверсией этого соответствия.