МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Южный федеральный университет»

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ В г. ТАГАНРОГЕ

Гладков Л.А, Курейчик В.В., Курейчик В.М.

Дискретная математика

УЧЕБНИк

под ред. КуреЙчика В.М.

Допущено учебно-методическим объединением вузов по университетскому политехническому образованию в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям «Информатика и вычислительная техника» и «Информационные системы»

Таганрог

2011

УДК: 621.3 + 681.3

Рецензенты:

Кафедра прикладной математики Московского энергетического института, зав. кафедрой, д.т.н., профессор, лауреат премии президента РФ в области образования А.П. Еремеев (г. Москва).

Ю.О. Чернышев, зав. каф. прикладной математики и вычислительной техники Ростовской государственной академии сельскохозяйственного машиностроения, д.т.н., профессор, заслуженный деятель науки РФ (г. Ростов-на-Дону).

Гладков Л.А, Курейчик В. В., Курейчик В. М. Дискретная математика. Учебник / Под ред. В.М. Курейчика. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. – 312 с.

NSB №978-5-8327-0309-1

Рассмотрены такие основные разделы дискретной математики, как теория множеств, алгоритмов, алгебра логики, теория графов. Для лучшего усвоения материала использована современная методика обучения на основе “решебников”. Авторы рассмотрели вопросы: исчисления множеств, задания отношений и соответствий, описания упорядоченных бесконечных множеств, мультимножеств и нечетких множеств, основные алгоритмические модели, основные логические функции и законы алгебры логики, виды и способы задания графов, алгоритмы решения задач на ориентированных и неориентированных графах, а также основные определения из теории гиперграфов и нечетких графов. В начале каждой главы приводится краткое изложение теории, затем подробно рассматриваются примеры и задачи с решениями. Приводятся контрольные задачи, упражнения и глоссарий с пояснением основных терминов. Учебник предназначен для студентов вузов, обучающихся по направлениям «Информатика и вычислительная техника» и «Информационные системы». Учебник может быть полезным для специалистов, занятых разработкой интеллектуальных САПР, поддержки и принятия решений, новых информационных технологий в науке, технике, образовании, бизнесе и экономике.

ISBN 978-5-8327-0309-1 © ТТИ ЮФУ, 2011

© Гладков Л.А., Курейчик В. В.,

Курейчик В. М., 2011

Оглавление

Введение 9

Цели и задачи преподавания дисциплины «Дискретная математика» 13

МОДУЛЬ 1. Основы теории множеств 16

Глава 1. Исчисление множеств 18

1.1. Понятие множества 18

1.2. Способы задания множеств 21

1.3. Подмножество 23

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 25

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 27

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 28

Глава 2. Операции над множествами 30

2.1. Объединение множеств 30

2.2. Пересечение множеств 30

2.3. Разность множеств 31

2.4. Дополнение множества 34

2.5. Тождества алгебры множеств 35

2.6. Доказательства тождеств с множествами 36

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 38

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 42

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 42

Глава 3. Упорядоченные множества 45

3.1. Кортеж (Упорядоченное множество) 45

3.2. Декартово произведение 47

3.3. Операция проектирования множеств 49

3.4. График 52

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 56

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 61

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 62

Глава 4. Отношения 63

4.1. Основные понятия отношений 64

4.2. Основные свойства отношений 65

4.3. Операции над отношениями 66

4.4. Основные свойства специальных отношений 68

4.5. Разбиение множеств 70

4.6. Отношение порядка 72

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 75

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 76

Глава 5. Соответствия 78

5.1. Определение соответствия 78

5.2. Операции над соответствиями 81

5.3. Понятие образа и прообраза при соответствии 84

5.4. Доказательства тождеств с соответствиями 87

5.5. Основные свойства соответствий 89

5.6. Функция 97

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 100

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 103

Глава 6. Упорядоченные бесконечные множества 102

6.1. Основные сведения об упорядоченных бесконечных множествах 102

6.2. Проблема континуума 105

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 110

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 111

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 112

Глава 7. Основные понятия теории мультимножеств 114

7.1. Понятие мультимножества 114

7.2. Операции над мультимножествами 117

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 122

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 124

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 124

Глава 8. Нечеткие множества 126

8.1. Нечеткие высказывания 126

8.2. Операции над нечеткими множествами 129

8.3. Нечеткие отношения и соответствия 131

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 134

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 140

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 142

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К МОДУЛЮ 1 142

ГЛОССАРИЙ К МОДУЛЮ 1 152

МОДУЛЬ 2. Основы теории алгоритмов 163

Глава 9. Введение в теорию алгоритмов 164

9.1. Понятие алгоритма 164

9.2. Основные свойства алгоритмов 167

9.3. Классификация алгоритмов 169

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 173

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 176

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 177

Глава 10. Универсальные алгоритмические модели 178

10.1. Преобразование слов в произвольных абстрактных алфавитах 178

10.2. Числовые функции 181

10.3. Построение алгоритмов по принципу «разделяй и властвуй» 184

10.4. Представление алгоритма в виде детерминированного устройства 185

10.5. Универсальные схемы алгоритмов 188

10.6. «Жадные» алгоритмы 204

10.7. Нечеткие (расплывчатые) алгоритмы 206

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 209

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 211

Глава 11. Сложность алгоритмов 213

11.1. Анализ алгоритмов 213

11.2. Сложность алгоритмов 221

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 225

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 226

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К МОДУЛЮ 2 227

ГЛОССАРИЙ К МОДУЛЮ 2 230

МОДУЛЬ 3. АЛГЕБРА ЛОГИКИ 236

Глава 12. Элементы алгебры логики 237

12.1. Логические функции 238

12.2. Основные логические тождества и законы 245

12.3. Булевы функции одной и двух переменных 248

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 252

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 253

Глава 13. Нормальные формы булевых функций 255

13.1. Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы 255

13.2. Способы перехода от нормальных к совершенным нормальным формам 2609

13.3. Алгебра Жегалкина 263

13.4. Функциональная полнота БФ 264

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 266

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 267

Глава 14. Логические схемы 269

14.1. Реализация булевых функций 269

14.2. Минимизация булевых функций 273

14.3. Карты Карно 277

14.4. Метод Квайна-МакКласски 283

14.5. Переход от БФ к простейшим комбинационным схемам 289

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 289

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 291

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 291

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К МОДУЛЮ 3 292

ГЛОССАРИЙ К МОДУЛЮ 3 297

МОДУЛЬ 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ 299

Глава 15. Введение в теорию графов 300

15.1. Способы задания и виды графов 301

15.1.1. Способы задания графов 301

15.1.2. Виды графов 308

15.1.3. Нечеткие неориентированные графы 313

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 314

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 319

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 319

15.2. Маршруты, цепи, циклы 321

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 326

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 328

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 328

15.3. Алгоритмы нахождения кратчайших по стоимости маршрутов (цепей) 330

15.3.1. Алгоритм Форда 330

15.3.2. Алгоритм Дейкстра 333

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 338

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 342

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 343

Глава 16. Специальные циклы и метрика графов 345

16.1. Эйлеровы и гамильтоновы цепи и циклы 345

16.1.1. Связь между эйлеровыми и гамильтоновыми графами 349

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 355

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 356

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 357

16.2. Алгоритмы построения гамильтонова цикла 358

16.2.1. Алгоритм Робертса – Флореса 358

16.2.2. Алгебраический метод 362

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 363

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 368

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 368

16.3. Задача о коммивояжере и алгоритмы ее решения 370

16.3.1. Алгоритм Хелда и Карпа 370

16.3.2. Геометрический метод решения 370

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 374

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 377

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 378

16.4. Расстояния на графах 379

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 383

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 385

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 385

16.5. Деревья 387

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 396

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 402

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 402

Глава 17. Графовые инварианты 404

17.1. Цикломатическое и хроматическое числа графа 404

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 409

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 411

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 412

17.2. Числа внутренней и внешней устойчивости графа 413

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 420

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 423

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 424

17.3. Планарность графов 425

17.3.1. Плоские и планарные графы 425

17.3.2. Эвристики для определения планарности 429

17.3.3. Минимизация пересечений ребер графов 432

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 439

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 439

17.4. Ориентированные графы 441

17.4.1. Способы задания 441

17.4.2. Решение стандартных графовых задач с использованием орграфов 443

17.4.3. Выделение сильносвязных компонент 444

17.4.4. Нечеткие ориентированные графы 446

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 447

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 455

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 455

17.5. Гиперграфы 457

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 460

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 460

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 461

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К МОДУЛЮ 4 462

ГЛОССАРИЙ К МОДУЛЮ 4 471

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ 480

ЛИТЕРАТУРА 484

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 489

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. 491

Хорошее начало – половина всего.

Платон

В одном мгновеньи – видеть вечность,

Огромный мир – в зерне песка,

В единой горсти – бесконечность,

И небо в чашечке цветка.

У.Блейк

Введение

Данный учебник является частью курса “Дискретная математика”, который проводился в Таганрогском государственном радиотехническом университете в течении 20 лет (1986 – 2006). В настоящее время данный курс ставится и читается на основе инновационных, информационных и интеллектуальных технологий обучения в Южном федеральном университете (г. Ростов-на-Дону, г. Таганрог). В пособии рассматриваются основные положения теории множеств, теории алгоритмов и алгебры логики, теории графов, а также их применение для решения практических задач науки и техники. Для лучшего усвоения материала была использована инновационная методика обучения на основе “решебников”. В начале каждого модуля приводится краткое изложение теории, затем подробно рассматриваются примеры и задачи с решениями. Также приводятся контрольные задачи, упражнения и глоссарий с пояснением основных терминов. Задачи и упражнения составлены авторами на основе фундаментальных научных исследований в этой области, а также современной учебной литературы. Опыт преподавания в вузах России, США, Германии, Франции и Японии показал эффективность такого метода представления материала.

Теория множеств является базой, на основе которой строится вся современная дискретная математика. Основное влияние дискретная математика оказала на развитие вычислительной техники, микроэлектроники, нанотехнологии, биологии, генетики, информатики и других наук. В настоящее время применение теории множеств является повсеместным во всех областях науки и техники, поэтому дискретная математика и ее основная часть - теория множеств являются не только фундаментом современной математики, но и основным звеном подготовки специалистов XXI века.

Учебник состоит из четырех модулей. В первом модуле учебника авторы рассмотрели вопросы: исчисления множеств выполнения основных операций над множествами, представления упорядоченных множеств, задания отношений и соответствий, описания упорядоченных бесконечных множеств, мультимножеств и нечетких множеств. Теоретический материал модуля 1 состоит из большого числа моделей, аксиом, теорем и формулировок, используемых в пособии понятий. Каждое новое понятие и положение выделяется жирным шрифтом и включается в глоссарий, где дается его пояснение. Авторы стремились показать широкие возможности применения теории множеств, ее универсальность и специализированность для решения задач информатики и вычислительной техники. Методы теории множеств используются в таких разделах дискретной математики, как комбинаторика, алгебра логики, теория алгортимов, теория графов, теория автоматов, математическое программирование. Положения теории множеств являются основой курсов «Математическая логика и теория алгоритмов», «Базы данных и СУБД», «Исследование операций», «Методы оптимизации» и др. Студент, обладающий знаниями в области теории множеств, будет подготовлен к эффективной деятельности в науке, бизнесе и производстве.

Во втором и третьем модулях учебника рассматриваются основные положения теории алгоритмов и алгебры логики, а также их применение для решения практических задач. Авторы рассмотрели следующие вопросы: основные алгоритмические модели, свойства и классификация алгоритмов, виды универсальных алгоритмов, проблемы временной сложности алгоритмов, классы алгоритмов в зависимости от временной сложности, основные логические функции и законы алгебры логики, нормальные и совершенно нормальные формы представления булевых функций, проблемы функциональной полноты, проблемы минимизации булевых функций, логические схемы, проблемы представления булевых функций в виде логических элементов.

Основы теории алгоритмов и алгеброы логики используются в таких разделах дискретной математики, как комбинаторика, теория графов, теория автоматов, математическое программирование и др. Положения теории алгоритмов являются основой курсов «Исследование операций», «Методы оптимизации», «Теория принятия решений», «Теория игр и комбинаторика» и др.

В четвертом модуле учебника рассматриваются основные положения теории графов, способы задания графов, основные числа графов, Эйлеровы и Гамильтоновы графы, алгоритмы определения кратчайших путей в графе, а также их применение для решения практических задач информатики и вычислительной техники. Авторы стремились показать широкие возможности применения теории алгоритмов и алгебры логики, их универсальность и специализированность для решения задач науки и техники.

Теория графов является базой, на основе которой строится вся современная дискретная математика. Основное влияние теория графов оказала на развитие вычислительной техники, микроэлектроники, нанотехнологии, биологии, генетики, информатики и других наук. В настоящее время применение теории графов является повсеместным во всех областях науки и техники. Дискретная математика и ее основная часть − теория графов − являются не только фундаментом современной математики, но и основным звеном подготовки специалистов XXI века.

Авторы стремились показать широкие возможности применения теории графов, ее универсальность и специализированность для решения задач информатики и вычислительной техники. Методы теории графов используются в таких разделах дискретной математики, как комбинаторика, алгебра логики, теория алгортимов, теория автоматов, математическое программирование. Положения теории графов являются основой курсов «Математическая логика и теория алгоритмов», «Базы данных и СУБД», «Исследование операций», «Методы оптимизации» и др. Студент, обладающий знаниями в области теории графов, будет подготовлен к эффективной деятельности в науке, бизнесе и производстве.

Вместе с теорией множеств, математическая логика и теория алгоритмов образуют теоретический фундамент современных вычислительных наук. Причем в этом случае математическая логика трактуется в широком смысле, включающем в себя и собственно математическую логику, понимаемую как теория формализованных языков, и теорию алгоритмов.

Основная задача учебника – обучение студентов построению моделей множеств, методам доказательств различных тождеств с множествами и, самое главное, методам абстрактного мышления. Студенты должны владеть методами минимизации булевых функций и уметь строить основные схемы алгоритмов решения различных задач науки и техники. Студенты также должны знать способы задания графов, построения графовых моделей, выполнения операций на графах, методы определения кратчайших путей, цепей и циклов в графах, определения Эйлеровых и Гамильтоновых циклов на графах, определения таких инвариантных чисел на графах, как цикломатическое и хроматическое число, число внутренней и внешней устойчивости, построения деревьев и основные алгоритмы на графах.

Для успешного изучения курса «Дискретная математика» студентам необходимо знание информатики, высшей математики и основ программирования. Студент, обладающий знаниями в области дискретной математики, будет подготовлен к эффективной деятельности в науке, бизнесе и производстве.

Авторы благодарны рецензентам - коллективу кафедры прикладной математики Московского энергетического института (зав. кафедрой, д.т.н., профессор, лауреат премии президента РФ в области образования А.П. Еремеев) и Ю.О. Чернышеву, д.т.н., профессору, заслуженному деятелю науки РФ, зав. каф. прикладной математики и вычислительной техники Ростовской государственной академии сельскохозяйственного машиностроения. Авторы благодарны д.т.н., профессору Петровскому А.Б., к.т.н., доценту Полякову В.И. за ценные замечания по 1, 3 и 4 модулям данного учебника. Особая благодарность сотрудникам, аспирантам и студентам кафедры САПР за помощь в апробировании материала.

Любые замечания и предложения будут приняты с благодарностью.

Авторы