4.1 Абстрактная модель цифрового автомата (ца).

Абстрактный автомат (АА) – математическая модель дискретного устройства, определяемая упорядоченным множеством, состоящим из шести компонентов:

S = (A, Z, W,δ, λ, a₁ ), у которого

1. A = {a₁,…,a_m,…,a_M} – множество состояний (алфавит состояний);

2. Z = {z₁,…,z_f,…,z_F} – множество входных сигналов (входной алфавит);

3. W = {w₁,...,w_g,…,w_G} - множество выходных сигналов (выходной алфавит);

4. δ - функция переходов, определяющая порядок чередования внутренних состояний автомата. Другими словами, функция δ некоторым парам состояние – выходной сигнал (a_m, z_f)ставит в соответствие состояния автомата a_s = δ(a_m ,z_f), a_s € A;

5. λ – функция выходов, задающая значения выходного сигнала в зависимости от значения входного сигнала (возможно и в неявном виде) и внутреннего состояния. Функция λ некоторым парам состояние – входной сигнал (a_m ,z_f) ставит в соответствие выходные сигналы автомата w_g = λ(a_m ,z_f);

6. a₁ € A – начальное состояние автомата.

Абстрактный автомат имеет один вход, один выход и одно внутреннее состояние.

F

G

M

Z W A

Рисунок 4.1 – Структура абстрактного автомата

где: F – количество входных состояний (входных сигналов),

M– количество внутренних состояний,

G– количество выходных состояний (выходных сигналов).

Автомат работает в дискретном времени, принимающим целые неотрицательные значения t = 0,1,2,.... В каждый момент дискретного времени автомат находится в определенном состоянии a(t) = a_m€ Aиз множества состояний автомата, причем в начальный момент времени t = 0 он всегда находится в начальном состоянии a(0)= a₁.

В момент времени t, будучи в состоянии a(t) автомат способен воспринять на входе букву входного алфавита z(t) € Z. В соответствии с функцией выходов он выдает в тот же момент времени tбукву выходного алфавита w(t) = λ(a(t),z(t)) и в соответствии с функцией переходов перейдет в следующее состояние a(t+1) = δ(a(t),z(t));a(t) € A, w(t )€ W.

Смысл понятия абстрактого автомата состоит в том, что он реализует некоторое отображение множества слов входного алфавита Zв множество слов выходного алфавита W. Иначе, если на вход автомата, установленного в начальное состояние a_1, подавать буква за буквой некоторую последовательность букв входного алфавита z(0),z(1),z(2),…- входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита w(0),w(1),w(2),…-выходное слово. Относя к каждому входному слову соответствующее ему выходное слово, мы получим отображение µ, индуцированное абстрактным автоматом.

Таким образом, на уровне абстрактной теории понятие «работа автомата» понимается ка преобразование входных слов в выходные. Можно сказать, что в абстрактном автомате мы отвлекаемся от его структуры – содержимого прямоугольника на рисунке 4.1, рассматривая его как «черный ящик» (принятый в кибернетике подход, когда основное внимание уделяется поведению системы относительно внешней среды). Такое абстрагирование от структуры устройства позволяет решить ряд сложных проблем, которые на структурном уровне скрываются за множеством деталей, несущественных с точки зрения поведения всей системы в целом. В каком-то смысле понятие абстрактного автомата в теории дискретныхустройств воплотило в себе системный подход, в отличие от структурного подхода, при котором свойства объекта определяются свойствами составляющих его элементов.

Автомат называется конечным, если конечны множества A,Z,W. Автомат называется полностью определенным, если для любой пары (a_m,z_f) € AxZ, являющейся элементом произведения множества Aна множество Z, определены функции δ и λ.

У неполностью определенного, или частичного автомата функции δ и λ опрелены не для всех пар (a_m,z_f) € A x Z.