2.3 Методы получения сокращенной днф из сднф

2.3.1 Метод Квайна-Мак-Класки (алгебраический метод)

Любая ПФ, независимо от алгоритма ее минимизации, имеет единственную сокращенную ДНФ. Минимальной формой ПФ называется форма, содержащая минимальное количество членов.

Метод Квайна-Мак-Класки основан на преобразовании СДНФ с помощью операций неполного склеивания и поглощения.

1. Операция полного склеивания определяется соотношением:

(2.3)

Два члена и склеиваются по переменной .

2. Операция поглощения определяется соотношением:

(2.4)

Член поглощается членом .

3. Операция неполного склеивания определяется формулой:

(2.5)

Теорема Квайна. Если в СДНФ ПФ провести все операции неполного склеивания и затем все операции поглощения, то в результате получится сокращенная ДНФ этой функции, т.е. дизъюнкция все ее простых импликант.

Простые импликанты представляют собой самые короткие элементарные произведения, входящие в данную ПФ.

Все члены минимальной формы ПФ являются простыми импликантами.

Пример. Найти сокращенную ДНФ ПФ, заданной табл.2.2.

Представим функцию в СДНФ:

Таблица 2.2

0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	0

Выполнив склеивание по z в 2 и3 получим:

Произведение поглощает члены и .

.

Это выражение является сокращенной формой заданной ПФ, так как дальнейшее применение операции склеивания и поглощения невозможно.

Пример. Найти сокращенную ДНФ ПФ:

Представим функцию в СДНФ. Для этого умножим на , а на .

Операции склеивания проведем в следующем порядке:

• выполним все возможные операции склеивания 1-го члена с остальными;

• выполним все возможные операции склеивания 2 члена с остальными, кроме 1-го;

• выполним все возможные операции склеивания 3-го члена с остальными, кроме 1-го и 2-го и т.д.

- это сокращенная ДНФ.

Чтобы быстрее находить члены, которые склеиваются друг с другом, заметим, что склеиваться могут только такие члены, у которых число переменных с отрицаниями отличается на единицу.

Это правило является необходимым, но недостаточным.

2. Метод Квайна (метод импликантных матриц)

При минимизации по методу Квайна (базис 1)предполагается, что исходная функция задана в СДНФ.

Импликанта функции – некая логическая функция, обращаемая в нуль при наборе переменных, на котором сама функция также равна нулю. Поэтому любой конъюнктивный терм, входящий в состав СДНФ, или группа термов, соединенных знаками дизъюнкции, является импликантами исходной ДНФ.

Первичная импликанта функции – импликанта типа элементарной конъюнкции некоторых переменных, никакая часть которой не является импликантой.

Задача минимизации по методу Квайна состоит в попарном сравнении всех импликант, входящих в СНДФ, с целью выявления возможности поглощения какой – то переменной:

(2.6)

Таким образом, удается снизить ранг термов. Эта процедура проводится до тех пор, пока не остается ни одного члена, допускающего поглощение с каким-либо другим термом. Термы, подвергшиеся поглощению, отмечаются. Неотмеченные термы переставляют собой первичные импликанты.

Полученное логическое выражение не всегда оказывается минимальным. Поэтому исследуется возможность дальнейшего упрощения. Для этого составляется таблица, в строках которой записываются найденные первичные импликанты, а в столбцах указываются термы исходного управления. Клетки этой таблицы отмечаются в случае, если первичная импликанта входит в состав какого-либо терма. После этого задача упрощения сводится к тому, чтобы найти минимальное количество первичных импликант, которые совместно покрывают все столбцы.

Метод Квайна выполняется в несколько этапов, рассмотрим его применение на конкретном примере

Пусть необходимо минимизировать логическую функцию, заданную в виде

Задача решается в несколько этапов.

Этап 1. Нахождение первичных импликант. Прежде всего составляется таблица (табл.2.3) и находятся импликанты четвертого и третьего ранга, т.е. снижается ранг членов, входящих в СДНФ.

Таблица 2.3

Исходные термы	1	2	3	4	5	6	7	8
	0011	0100	0101	0111	1001	1011	1100	1101
(0011)	1
(0100)		1
(0101)			1
(0111)				1
(1001)					1
(1011)						1
(1100)							1
(1101)								1

Затем составляется другая таблица, которая включает все термы, не подвергшиеся поглощению, а также первичные импликанты третьего ранга. Составление таблиц продолжается до тех пор, пока нельзя будет применять правило. В рассматриваемом примере можно дойти до первичной импликанты второго ранга – х₂.х₃

Первичные импликанты наименьшего ранга выделены в табл.2.4:

Таблица 2.4

Первичные импликанты ранга 3
	1
		1
			1
				1		х2.х3
					1
						1
							1
								1
									1

Этап 2. Расстановка меток. Составляется таблица, число строк которой равно числу полученных первичных импликант, а число столбцов совпадает с числом минтермов СНДФ. Если в некоторый минтерм СНДФ входит какая-либо из первичных импликант, то на пересечении соответствующего столбца и строки становится метка (табл.2.5):

Таблица 2.5

Первичные импликанты	1	2	3	4	5	6	7	8
	Исходные термы
	0011	0100	0101	0111	1001	1011	1100	1101
				
						
				
						
								
								

Этап 3.Нахождение существенных импликант. Если в каком-либо из столбцов в таблице, представленной выше, имеется только одна метка, то первичная импликанта в соответствующей строке является существенной, так как без нее не будет получено все множество заданных минтермов. В таблице существенной импликантой является терм . Столбцы, соответствующие существенным импликантам, из таблицы вычеркивается.

Этап 4. Вычеркивание лишних столбцов. После третьего этапа в результате вычеркивания столбцов 2,3,7и 8 получается табл.2.6.

Таблица 2.6

Первичные импликанты	1	4	5	6
	Исходные термы
	0011	0111	1001	1011
		
				
		
				
			

Если в таблице есть два столбца, в которых имеются метки в одинаковых строках, то один из них вычеркивается. Покрытие оставшегося столбца будет осуществлять отброшенный минтерм. В примере такого случае нет.

Этап 5. Вычеркивание лишних первичных импликант. Если после отбрасывания некоторых столбцов на этапе 4 в таблице, представленной выше появляются строки, в которых нет ни одной метки, то первичные импликанты, соответствующие этим строкам, исключаются из дальнейшего рассмотрения, так как они не покрывают оставшиеся в рассмотрении минтремы.

Этап 6. Выбор минимального покрытия. Выбирается в таблице такая совокупность первичных импликант, которая включает метки во всех столбцах по крайней мере по одной метке в каждом столбце. При нескольких возможных вариантах такого выбора отдается предпочтение варианту покрытия с минимальным суммарным числом букв в импликантах, образующих покрытие. Этому требованию удовлетворяют первичные импликанты и .

Таким образом, минимальная форма заданной функции складывется из суммы существенных импликант (этап 3) и первичных импликант, покрывающих оставшиеся минтермы (этап 6):

(2.7)

На основании изложенного, сформулируем алгоритм получения минимальных дизъюнктивных нормальных форм переключательной функции.

1. ПФ представляют в СДНФ. При этом если функция задана таблицей, то ее представляют в записи по единицам, если же функция задана в произвольной аналитической форме, то СДНФ можно получить применяя операции развертывания, правила Де-Моргана и формулы булевой алгебры.

2. В полученной СДНФ проводят все операции неполного склеивания и поглощения. В результате этого получается сокращенная ДНФ заданной функции.

3. Находят все минимальные ДНФ по импликантной матрице или методом испытания.