2.2 Минимизация переключательных функций

Под минимизацией ПФ подразумевается преобразование ее алгебраического выражения с получением самой простой формы.

В соответствии с законами алгебры логики логические выражения, описывающие законы функционирования логических схем, можно преобразовывать (раскрывать скобки, выносить общий множитель, переставлять местами члены и т.п.) по правилам обычной алгебры. Это позволяет выполнять минимизацию ПФ, т.е. получать из сложной ПФ более простую форму, но сохраняющую закон функционирования сложной.

ПФ может быть представлена в:

а) табличной форме – в виде таблицы истинности,

б) канонической форме – в виде уравнения.

Таблица 2.1

0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Таблица истинности устанавливает соответствие между всевозможными двоичными наборами значений аргументов и соответствующими двоичными значениями функции.

По таблице истинности строятся нормальные формы булевых функций – в виде дизъюнкции конституент единицы.

 ; (2.2)

Конституента единицы выражается через произведение всех аргументов, каждый из которых входит в произведение со знаком отрицания или без него.

Или:

Конституента единицы - это конъюнктивный терм (минтерм), принимающий значение 1 на наборе, которому соответствует значение функции . Буквы в терме определяются соответствующим образом: , если , и , если .

Правило: Чтобы записать в виде произведения конституенту единицы, равную 1 на m-ом наборе, можно воспользоваться следующим правилом:

1. записать n-разрядное двоичное число (n – число аргументов), равное m, и произведение n переменных.

2. над переменными, места которых совпадают с местами нулей в двоичном числе m, поставить знаки отрицания.

Пример. Записать конституенту, равную 1 на десятом наборе, число аргументов равно шести.

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъюнкция любых элементарных произведений (термов).

Элементарным произведением называется произведение нескольких переменных, взятых с отрицаниями или без них.

 элементарные произведения

 не являются элементарными произведениями, поэтому и функции, ими образованные имеют:

 нормальную дизъюнктивную форму

 не образует ДНФ.

НДФ называется совершенной (СНДФ), если конънктивные термы являются конъюнкциями всех ее аргументов.

Пример.

 СДНФ

 несовершенная ДНФ

СДНФ ПФ из НДФ получается с помощью операции развертывания. Для этого НДФ умножается на недостающие члены.

Пример.

Любая ПФ (кроме константы нуля) имеет единственную СДНФ.

Константа 0 – единственная ПФ, не имеющая СДНФ. Это не означает, однако, что константу нуль нельзя выразить через операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания; ее можно представить, например, в виде:

Конъюнктивный терм (минтерм) – терм, связывающий переменные, представленные в прямой или инверсной форме, знаком конъюнкции. Используется и термин «конституента единицы».

Например:

Дизъюнктивный терм (макстерм) – терм, связывающий все переменные, представленные в прямой или инверсной форме, знаком дизъюнкции. Используется и термин «конституента нуля».

Например:

Ранг терма r определяется количеством переменных, входящих в данный терм.

Например, для минтерма , r=5 и для макстерма , r=3.

ДНФ – объединение термов, включающее минтермы переменного ранга.