Шпаргалка По Физике (Штеренберг А. М.) / 24.Гармонические колебания

24.Гармонические колебания. Уравнение колебаний и его решение.

Гармонические колебания - периодический процесс, в котором рассматриваемый параметр изменяется по гармоническому закону. Если на колебательную систему не действуют внешние переменные силы, то такие колебания называются свободными. 

Если амплитуда колебаний мала, то координата x массы по вертикальной оси изменяется по гармоническому закону: x= Asin(t + ) или x=Acos(ω₀t+φ₀), где A - амплитуда колебаний, t - время,  - фаза колебаний,  - угловая частота колебаний,  = 2f = 2 /T, f - частота колебаний, T - период колебаний.

φ=ω₀t+φ₀ – фаза колебаний- определяет смещение колеблющейся точки или системы в данный момент времени t, φ_0-начальная фаза колебания при t=0,фаза колебаний- характеризует мгновенное состояние колеблющейся системы и определяется отклонением и временем.

Таким образом, мы можем записать дифференциальное уравнение для пружинного маятника: md²x/dt² =  -kx + mg, где g- ускорение свободного падения в гравитационном поле,d²x/dt² - вторая производная координаты x по времени t.

Это уравнение имеет следующее решение:x  = Asin[(k/m)^1/2t +] + mg/k

Мы можем видеть из этой формулы, что период колебаний равен T = 2(m/k)^1/2 и, соответственно, угловая частота равна = (k/m)^1/2

Уравнение свободного гармонического осциллятора с затуханием может быть записано следующим образом:m(d²x/dt²) +  (dx/dt) + kx = mg, где  - коэффициент трения. Это уравнение может быть переписано в виде d²x/dt²+ 2(dx/dt) + ²x = g где 2 =  / m; ²=k /m

В случае, когда  ² > ² уравнение колебаний свободного гармонического осциллятора с затуханием имеет следующее решение: x = Ae^-tcos(t +  )

При этом период колебаний зависит от коэффициента затухания  :T = 2/= 2/(² -²)^1/2

Гармонические колебания вызываются силами обладающими двумя свойствами

1)величина силы прямо пропорциональная к смещению шарика

2) направление силы противоположно направлению смещения.

Этими свойствами обладает упругая сила или от других сил, которые по своей природе не являются упругими, эти силы – квазиупругие

Колебания происходящие под действием упругой и квазиупругой силы называются гармоническими

При гармонических колебаниях через определенный промежуток времени ∆t=Т.Это промежуток времени называется периодом колебания Т.

Частота колебаний: ν=-число колебаний в единицу времени (в секунду).

Циклическая или круговая частота: ω₀=2πν.Она определяет число колебаний за 2π секунд.

Скорость тел или системы при гармонических колебаниях:v=x’=Aωcos(ω₀t+φ₀).

Ускорение тел или системы при гармонических колебаниях:a=v’=x’’= -Aω2sin(ω₀t+φ₀).

Ускорение и скорость сдвинуты по фазе на .