2. Способы задания функции
Функцию можно задать следующими способами:
1. Табличный способ задания функции. При этом способе задания fзначений аргумента и соответствующие им значения функции. Такой способ чаще всего используется при оформлении результатов эксперимента. Широко известны, например, таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д.
2.
Графический
способ задания функции Графиком
функции y=f(x)
(X→У)
называется множество точек плоскости
XOY
с координатами (x,y=f(x)),
где
x
X,
а у
У,
здесь X
- числовое множество на оси ОХ
(отрезок, луч, прямая), У
- числовое множество на оси OY.
3. Аналитический способ задания функции. При этом способе задания функция определяется с помощью аналитического выражения, т.е. с помощью формулы, указывающей, какие действия и в каком порядке надо произвести над значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции.
Пример 1.
t |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
P |
1,8 |
1,8 |
1,9 |
2,0 |
2,0 |
2,1 |
2,2 |
2,2 |
Здесь приведена таблица зависимости удельного сопротивления меди (в сантиметрах) при различных температурах t (в градусах). Результаты получены экспериментально.
Пример 2.
Функцию у= | х | на отрезке [-1,1] можно задать при помощи двух аналитических выражений:
Г
y
рафик этой функции имеет вид, показанный на рис. 1.
x
-1
1
3. Четные и нечетные функции.
Функция
,
заданная на симметричном относительно
начала координат промежутке, называется
четной,
если ля любого значения из x
этого промежутка имеет место равенство
ƒ(–x)=ƒ(x)
график четной функции симметричен относительно оси Oy.
Функция ƒ(x), заданная на симметричные относительны начала координат промежутке, называется нечетной, если для любого значения x из этого промежутка имеет место
ƒ(–x)= –ƒ(x)
график нечетной функции симметричен относительно оси начала координат.
Сумма
и разность двух четных (нечетных) функций
есть функция четная (нечетная).
Действительно, пусть
Тогда если ƒ(x) и g(x) – четные, то
Если
же ƒ(x)
и g(x)
– нечетные, то
также будет нечетной.
Аналогичное доказательство для разности функций.
Произведение
двух четных и двух нечетных функций
есть функция четная, а произведение
четной функции на нечетную есть нечетная
функция. В самом деле, пусть
и ƒ(x)
четные
функции, тогда
Если ƒ(x) и g(x) – нечетные функции, то
Если ƒ(x)четная, и g(x) – нечетная функции, то
Пример
1. Доказать,
что функция
— нечетная.
Решение:
Область определения функции:
;
.
Следовательно, функция нечетная.
Пример
2.
Доказать, что функция
— четная.
Решение:
Область определения функции:
;
.
Следовательно, функция четная.
Пример
3. Является
ли функция
, определенная в промежутке
,
четной?
Решение:
Это функция не является ни четной, ни
нечетной, так как её область определения
не симметрична относительно начала
координат. Хотя формально
.
Пример
4.
Исследовать на четность и нечетность
функцию
.
Решение:
Область определения функции:
;
,
т.е. функция не удовлетворяет равенствам
и
.
Значит, функция не является ни четной,
ни нечетной.
Выяснить четность (нечетность) функций:
6.
7.
8.
9.
4.
Периодические функции.
Функция
называется периодической,
если существует число
такое, что для любого значения
из области определения функции выполняется
равенство
.
Число
называется периодом
функции.
Если
— период функции, то её периодом является
также число
,
так как
.
Обычно
под периодом функции понимают наименьший
из положительных периодов, если такой
период существует. Например, периодом
функции
и
является число
,
,
а функций
и
— число
.
Найти наименьший период функций:
10.
11.
Построить графики функций:
12.
а)
б)
в)
г)
13.
а)
б)
в)
г)
д)
14.
а)
б)
в)
15.
а)
б)
в)
г)
