§ 3. Абсолютная величина вещественного числа

Абсолютной величиной (или модулем) числа x называется само число x, если , или число - x, если .

Абсолютная величина числа x обозначается символом . Таким образом,

Например, ; ; .

Основные свойства абсолютных величин: 1º. . 2º. . 3º. . 4º. Неравенство означает, что . 5º. Неравенство означает, что либо , либо . 6º. . 7º. . 8º. . 9º. .

Пример 1. Найти решения уравнений: 1) ; 2) ; 3) x+2|x|=3.

Решение. 1) При имеем , откуда – неверное равенство; следовательно решений нет. При получаем , откуда – решение уравнения.

2) При имеем , откуда – неверное равенство; следовательно решений нет. При получаем , откуда , что противоречит сделанному предположению . Таким образом, уравнение не имеет решений.

3) При имеем , откуда . При получаем , откуда . Следовательно, и - решения уравнения.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. По определению, при . Следовательно, данное уравнение представится в виде , откуда .

Пример 3. Решить неравенство .

Решение. Так как только при , то неравенство справедливо для тех x, при которых , откуда .

Пример 4. Решить неравенство .

Решение. В силу свойства 5º будем иметь или откуда получаем ответ: либо , либо .

Пример 5. Доказать неравенство .

Решение. В силу свойств 2º и 7º имеем

(1)

Умножая второе неравенство на , получаем

(2)

Объединяя (1) и (2), найдем , откуда в силу свойства 4º .

Решить уравнения и неравенства:

23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.
31.	.	32.	.
33.	.	34.	.
35.	.	36.	.
37.	.	38.	.
39.	.	40.
41.		42.	.
43.	.	44.	.
45.	.	46.	.
47.	.	48.	.
49.	.	50.	.
51.	.	52.	.

Глава 2. Комплексные числа

Введение комплексных чисел вызвано тем, что во множестве вещественных чисел не выполнено извлечение корня четной степени из отрицательного числа.

Комплексным числом z называется упорядоченная пара вещественных чисел (x; y), т.е. z = (x; y). При этом x называется вещественной, а y – мнимой частью комплексного числа.

Комплексное число z = (x; y) изображается на плоскости Оxy точкой с координатами (x; y). Плоскость Оxy в этом случае называется условно комплексной плоскостью.

Комплексное число (x; y) при называется мнимым. Мнимое число (0; y) называется чисто мнимым, а чисто мнимое число (0;1) – мнимой единицей и обозначается буквой i, т.е. i = (0;1). По определению полагают (x;0) = x, (0;y) = iy, (0;0) = 0.

1. Действия над комплексными числами. Пусть z₁ = (x₁;y₁) и z₂ = (x₂;y₂) – два комплексных числа. Тогда суммой комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число

;

разностью – комплексное число

- ;

произведением – комплексное число

частным – комплексное число

,

Пример 1. Доказать, что i² = -1.

Решение. В силу определения произведения комплексных чисел имеем , что и требовалось доказать.

2. Алгебраическая форма комплексного числа. Любое комплексное число z = (x; y) можно представить в виде

и производить над комплексными числами действия по обычным правилам алгебры многочленов. Запись называется алгебраической формой комплексного числа.

Пример 2. Найти сумму чисел и .

Решение. Имеем

+ (

Пример 3. Разделить число на число .

Решение. Практически деление комплексных чисел выполняется по следующему правилу:

Комплексное число называется комплексно-сопряженным числу и изображается на комплексной плоскости точкой, симметричной точке z относительно оси Оx.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Применив к данному уравнению известное правило нахождения корней уравнения, получим .

Данное уравнение вещественных корней не имеет; его корни комплексно-сопряженные, т.е.

3. Тригонометрическая форма комплексного числа. Комплексное число определяется упорядоченной парой вещественных чисел (x; y). По формулам , связывающим полярные и прямоугольные координаты, получим тригонометрическую форму записи комплексного числа : .

Число называется модулем, а число - аргументом комплексного числа . Они обозначаются так: , причем аргумент определен с точностью до

слагаемого , модуль имеет значение .

Пример 5. Представить в тригонометрической форме число .

Решение. Для имеем: , . Этим значениям косинуса и синуса соответствует значение аргумента . Следовательно, .

Пусть и . Тогда умножение и деление комплексных чисел определяются по формулам

Пусть Тогда возведение в степень и извлечение корня n-й степени (n – целое положительное число) осуществляется по формулам

В частности, если в формуле (1) положить , то получим формулу которая называется формулой Муавра.

Выполнить действия:

13. Решить уравнения: 1) 2) 3)

4) 5) 6)

и проверить подстановкой корней в уравнение.

Представить в тригонометрической форме комплексные числа:

1 -1 –i 5 -2

i6 –i3

Найти все значения корней:

Вычислить по формуле Муавра: