8.5. Итерационные методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений
В основе итерационных методов решения систем нелинейных уравнений лежит:
Аппроксимация нелинейных функций полиномиальными;
Задание начального значения решения (приближения);
Нахождение новых приближений к решению путём многократного использования алгоритма поиска решения.
Итерационные методы характеризуются:
Величиной методической ошибки;
Условиями сходимости к решению;
Скоростью сходимости к решению.
К сожалению, не каждый метод гарантирует сходимость. Как правило, вероятность сходимости растёт, если начальное приближение оказывается близким к решению; поэтому, в ряде случаев, рекомендуется вначале применять алгоритмы, пусть и медленные, но гарантирующие сходимость (глобально сходящиеся), а затем заменять их алгоритмами, имеющими высокую скорость сходимости. К числу первых относятся, в частности, алгоритмы методов дихотомии, к числу вторых –методы Ньютона-Рафсона.
Формулы ряда методов можно получить следующим образом:
Пустьf(x)=0, тогдаK(x)⸱f(x)=0 иx=x+K(x)⸱f(x).
Здесь K(x) – произвольная неособенная (невырожденная) матрица.
Преобразуем последнюю формулу к виду
.
Равенство приближённо выполняется, если ||f(xi)|| ≤ε1 и ||xi+1–xi|| ≤ε2.
В этом случае решение лежит в окрестностиxi.
Различные подходы к выбору матрицыK(x) приводят к различным методам. Наиболее известны: Метод деления отрезка пополам, метод простых итераций(метод Якоби), метод Гаусса-Зейделя, метод последовательной верхней релаксации, метод касательных (Ньютона-Рафсона)иего модификации.
ЕслиK(x)=J-1(x),где
J(x)
–
матрица Якоби:
получимитерационную формулу метода Ньютона-Рафсона:
.
Метод Ньютона широко применяется на практике, поэтому рассмотрим его более подробно. Известно, что всякую функцию f(x) в окрестности решения можно разложить в ряд Тейлора. В этом случае
,
где x=x*– решение.
Если в окрестности решения ограничиться двумя первыми членами разложения, то
Метод Ньютона имеет квадратичную сходимость в окрестности решения.
Пример
квадратичной сходимости: Пусть на k-ой
итерации погрешность решения:
.Тогда
,
,
,
.
Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений в конечном итоге сводятся к решению систем линейных уравнений вида Ax=B на каждой итерации.
8.6. Методы решения систем линейных уравнений (слау)
Методы делятся на прямые («точные») методы и итерационные.
8.6.1. «Точные» методы
Приведём определение «точного» метода:
Метод решения системы уравнений относится к классу «точных», если в предположении отсутствия ошибок округления он дает точное решение задачи после конечного числа арифметических и логических операций.
Известно множество способов решения систем линейных уравнений, относящихся к классу «точных», таких как метод Гаусса, LU-факторизация, метод Краута, метод Крамера и др. На практике чаще всего используется метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).
Методы рекомендуется применять при решении СЛАУ небольшой и средней размерности. Это связано с большим числом арифметических операций, требуемых для вычислений. Так, если при представлении математической модели в матричной форме модель не разреженная и имеет порядок N*N, то число необходимых операций при решении будет, по меньшей мере, пропорционально N*N*N.