Примеры решения задач

Задача 1

Три шара с массами 2,5 кг, 4,0 кг и 2,0 кг укреплены в указанном порядке на невесомом стержне. Расстояние от левого конца стержня до первого шара равно 0,1 м, между центрами первого и второго шаров 0,2 м, а между центрами второго и третьего шаров 0,25 м. На каком расстоянии от левого конца стержня находится центр масс этой системы?

Решение.

Рис. 4.1

Поскольку шары относительно оси стержня расположены симметрично, то достаточно ввести одну ось OX, совпадающую со стержнем, как показано на рис. 4.1.

Координата центра масс системы шаров определяется выражением

.

Для рассматриваемого случая получаем

.

Подставляем исходные данные из условия задания

м.

Ответ: м.

Задача 2

Платформа в виде диска радиусом  м и массой  кг вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая  с^–1. В центре платформы стоит человек массой  кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение.

Частота вращения платформы изменяется в результате действия, производимого человеком (его переходом на край платформы). В системе человек–платформа сила взаимодействия является внутренними, поэтому они не изменяют ни импульса, ни момента импульса системы. Поскольку все тела системы совершают вращательное движение вокруг неподвижной оси, то следует рассматривать только момент импульса системы.

Возникающие при переходе человека на край платформы внешние силы (силы реакции оси, силы тяжести и силы нормальной реакции) момента импульса системы не изменяют, поскольку моменты всех этих сил относительно вертикальной оси вращения равны нулю. Следовательно, момент импульса этой системы остается постоянным: .

По закону сохранения момента импульса

(4.3)

где и  – моменты инерции платформы и стоящего в ее центре человека;  – угловая скорость платформы с человеком, стоящим в ее центре;  – момент инерции человека, стоящего на краю платформы;  – угловая скорость платформы с человеком, стоящем на ее краю.

Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением

(4.4)

Определив из уравнения (4.3) и подставив полученное выражение

в формулу (4.4), будем иметь

(4.5)

Момент инерции платформы определяем как для диска. Следовательно,

Момент инерции человека рассчитываем как для материальной точки. Поэтому

Угловая скорость платформы до перехода человека из ее центра на край платформы

Заменив в формуле (4.5) величины , , , их выражениями, получаем:

0,94 м/с.

Ответ: 0,94 м/с.

Задача 3

Определить закон движения центра масс диска, имеющего радиус массу . К оси диска приложена постоянная сила и момент Коэффициент трения качения

Решение.

Рис. 4.2

Второй закон Ньютона в проекциях на оси и записывается в виде (рис. 4.2)

, ,

где  – движущая сила;  – нормальная сила реакции опоры поверхности;  – сила трения. Основной закон динамики для вращательного движения в этом случае имеет вид

где .

Так как то и . Поскольку

, то

.

Здесь учтено условие качения диска без скольжения , откуда (мгновенная ось вращения диска находится в точке Р). Подставив полученное выражение для силы трения, получим выражение для ускорения:

.

Проинтегрировав последнее равенство дважды, получим

Если в начальный момент диск находился в покое, то если начало координат совпадает с начальным положением мгновенной оси вращения, то . Из выражения для следует, что движение диска в заданном направлении возможно при условии или . Однако качение без скольжения может быть при значениях не превосходящих предельного значения силы трения т. е. или с учетом имеем откуда Следовательно,

.

Ответ: , при условии .

Задача 4

Полый цилиндр с внутренним радиусом и внешним массой и длиной вращается вокруг оси проходящей через точку О и перпендикулярной геометрической оси цилиндра. При этом ось симметрии цилиндра лежит на радиусе окружности вращения. Найти момент инерции цилиндра относительно оси если центр масс цилиндра находится от нее на расстоянии a.

Решение.

Для того чтобы найти момент инерции тела относительно произвольной оси – в нашем случае, оси необходимо воспользоваться теоремой Гюйгенса–Штейнера:

, (4.6)

где  – момент инерции цилиндра относительно оси параллельной заданной оси и проходящей через его центр масс (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Для решения разбиваем цилиндр на бесконечно тонкие диски массой и толщиной и определяем момент каждого диска относительно оси, лежащей в его плоскости и параллельной оси Момент инерции кольца относительно центра имеет вид

.

Для плоского тела . Так как для однородного симметричного тела , то момент инерции диска относительно оси равен

. (4.7)

Пусть один из дисков находится на расстоянии от оси . Тогда по теореме Гюйгенса–Штейнера с учетом (4.7) момент инерции диска относительно оси :

. (4.8)

Учитывая, что (4.9) и подставляя (4.9) в (4.8), получаем:

(4.9)

Интегрируя по всей длине цилиндра, находим его момент инерции относительно оси z:

. (4.10)

Из выражения (4.10) видно, что момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно геометрической оси, можно рассчитать как сумму соответствующих моментов инерции диска относительно диаметра и тонкого стержня относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно стержню. Этим приемом можно воспользоваться при расчете моментов инерции сплошных и полых цилиндров относительно осей , проходящих как через центр масс, так и через край цилиндра.

И, наконец, подставляя (4.10) в (4.6), находим момент инерции цилиндра относительно оси

Ответ:

Задача 5

Найти момент инерции однородного тела массой ограниченного параболоидом вращения и плоскостью относительно его оси симметрии. Радиус основания параболоида равен Указание: используйте уравнение параболоида , где коэффициент определяется при

Решение.

Рис. 4.4

Разобьем мысленно тело на бесконечно тонкие диски радиусом и толщиной Тогда момент инерции каждого диска: , где  – масса диска: ,  –плотность тела. Учитывая аддитивность момента инерции, получаем: (4.11) где  – высота тела.

Чтобы вычислить интеграл (4.11), нужно найти уравнение параболоида. Из рис. 4.4 видно, что Коэффициент находим из условия, что при , тогда Итак,

. (4.12)

Подставляя выражение (4.12) в формулу (4.11), получаем

(4.13)

Для исключения и из формулы (4.13) воспользуемся тем, что масса тела

.

Отсюда Подставляя это выражение в формулу (4.13), окончательно находим:

Ответ:

Задача 6

Материальная точка массой движется по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью В некоторый момент времени она ударяется в конец стержня массы длиной лежащей на поверхности перпендикулярно направлению скорости точки. Найти собственный момент импульса стержня после соударения.

Решение.

Рис. 4.5

Материальная точка испытывает упругое соударение с концом стержня. После этого она продолжает движение вдоль прямой, на которой лежал ее вектор скорости, однако скорость будет изменена. В частном случае она окажется равной нулю. Стержень после соударения будет принимать участие в двух типах движения. С одной стороны, центр масс стержня будет перемещаться поступательно в том же направлении, что и материальная точка до соударения. С другой стороны, стержень будет вращаться вокруг центра масс (рис. 4.5). Собственный момент импульса стержня будет обусловлен его движением в системе отсчета, связанной с его центром масс

В системе будет выполняться закон сохранения импульса:

, (4.14)

где  – скорость материальной точки после соударения;  – скорость центра масс стержня после соударения. Необходимо помнить, что закон сохранения записывается только для поступательных скоростей.

Так же будет выполняться закон сохранения энергии:

, (4.15)

где  – момент инерции стержня относительно его центра масс;  – угловая скорость вращения стержня относительно его центра масс.

Закон сохранения момента импульса запишем в системе отсчета, связанной с центром масс стержня:

. (4.16)

Решая совместно систему уравнений (4.14)–(4.16) и учитывая, что собственный момент импульса стержня равен , получим:

из уравнения (4.16):

(4.17)

из уравнения (4.14):

(4.18)

Подставим полученные выражения (4.17) и (4.18) в (4.15):

(4.19)

Из уравнения (4.19) выражаем

. (4.20)

С учетом (4.20) находим собственный момент импульса стержня:

.

Ответ:

Задача 7

Однородный стержень круглого сечения радиусом массой и длиной лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Шарик радиусом и массой , двигаясь со скоростью перпендикулярной к стержню, упруго ударяется об его конец на расстоянии от торца. Считая, что найти:

а) угловую скорость стержня, скорость его центра инерции и скорость шарика после удара;

б) зависимость доли переданной энергии от отношения масс .

Решение.

Выбираем систему координат так, чтобы шарик и стержень лежали в плоскости XOY. Так как они имеют одинаковые радиусы, то после столкновения шарик не вылетит из плоскости XOY. Так как столкновение происходит на расстоянии от торца, то шарик все время остается на первоначальной прямой, двигаясь после столкновения либо в прежнем направлении, либо в противоположном, или останавливается (в зависимости от ). Поскольку трение отсутствует, а силы тяжести уравновешены силами реакции опоры, то выполняются законы сохранения импульса, энергии, момента импульса:

, (4.21)

, (4.22)

, (4.23)

где  – скорость шарика после соударения;  – скорость центра инерции стержня;  – момент инерции стержня относительно оси OZ. Так как по условию то можно взять

(4.24)

Спроектируем уравнение (4.21) на ось OX, а уравнение (4.23) – на ось OZ:

,

. (4.25)

Так как то Кроме того,

Следовательно, уравнение (4.25) можно переписать в виде

С учетом формулы (4.24) и того, что вместо уравнения (4.21)–(4.23) имеем:

, (4.26)

, (4.27)

, (4.28)

Из уравнения (4.26) и (4.28) получаем откуда

(4.29).

Подставляя выражение для в уравнение (4.27), приходим к системе из двух уравнений с двумя неизвестными:

, (4.30)

(4.31)

Исключая из уравнения (4.31) с помощью формулы (4.30), получаем

.

Поскольку интересует ненулевое решение, то

. (4.32)

Из уравнений (4.28) и (4.29) находим:

, (4.33)

(4.34)

Из выражения (4.34) следует, что при , при , при , т. е., если , шарик после столкновения будет двигаться в прежнем направлении; если , шарик остановится; если же , шарик отскочит от стержня.

Энергия, передаваемая шариком стержню,

(4.35)

Подставляя в уравнение (4.35) выражения (4.24), (4.32), (4.33), получаем . Учитывая, что начальная энергия , имеем

.

Используя стандартные методы исследования функции, находим, что максимальная передача энергии происходит при , т. е. при . В этом случае шарик передает всю свою энергию стержню и останавливается.

Задача 8

Стержень массой и длиной , который может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через один из его

Рис. 4.6

концов, под действием силы тяжести переходит из горизонтального положения в вертикальное. Проходя через вертикальное положение, стержень нижним концом упруго ударяет малое тело массой лежащее на столе. Найти, на какое расстояние переместится тело после удара, если коэффициент трения между телом и столом равен и не зави-

сит от скорости. Стержень после удара остановился. Тело скользит по столу без вращения.

Решение.

Применяя закон сохранения энергии к стержню до удара и закон сохранения момента импульса к системе стержень–тело во время удара, получим:

, (4.36)

(4.37)

где  – угловая скорость вращения стержня в момент удара,  – момент инерции стержня относительно оси вращения,  – скорость тела сразу после удара. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его край, равен . Тогда уравнения (4.36) и (4.37) перепишутся в следующем виде:

(4.38)

(4.39)

Перемещение тела можно найти из условия, что вся приобретенная телом в результате удара кинетическая энергия израсходуется на работу против сил трения. Можно записать, что

(4.40)

Из (4.40) следует, что

(4.41).

Выражение для находим из уравнений (4.38) и (4.39)

(4.42)

Подставляя (4.42) в (4.41), получаем окончательный ответ:

(4.43)

Ответ:

Задача 9

По наклонной плоскости, образующий угол с горизонтом, скатывается массивный полый цилиндр массой . По поверхности цилиндра бежит собака таким образом, что все время занимает наивысшее положение на поверхности цилиндра. Определить, с каким ускорением скатывается цилиндр, если масса собаки

Рис. 4.7

Решение. Будем рассматривать все движения в системе отсчета, в которой наклонная плоскость неподвижна. Так как центр масс системы и мгновенная ось вращения A движутся параллельно, то уравнение моментов относительно этой движущейся оси имеет вид

Момент импульса системы слагается из момента импульса цилиндра и момента импульса собаки где  –длина перпендикуляра, опущенного на наклонную плоскость из точки  –радиус цилиндра. Тогда

(4.44)

причем под следует понимать момент инерции цилиндра относительно

мгновенной оси, который согласно теореме Гюйгенса–Штейнера равен ( – момент инерции полого цилиндра относительно оси, походящей через его центр масс и параллельной мгновенной оси вращения). Из-за отсутствия скольжения поэтому

(4.45)

Так как центр масс системы и мгновенная ось A движутся параллельно, то согласно уравнению моментов производная по времени должна равняться моменту внешних сил (сил тяжести) относительно мгновенной оси A

(4.46)

Из рис. 4.7 следует, что

(4.47)

Подставляя (4.45) и (4.47) в (4.46), получаем:

(4.48)

Из (4.48) находим требуемое ускорение:

(4.49)

Ответ: .