§ 2 Основные понятия кинематики

В предыдущем параграфе для описания положения материальной точки мы ввели понятие системы отсчета и радиус-вектора. В процессе движения точки ее радиус-вектор изменяет свое положение. Линия, которую описывает конец радиус-вектора, называется траекторией. По форме траектории движение делится на прямолинейное и криволинейное.

Пройденный путь l – это длина траектории. Пройденный путь – величина скалярная и только положительная.

Обратимся к рисунку 11. Допустим, материальная точка из положения М₀ перешла в положение М:

– радиус-вектор в начальном положении, т.е. в момент времени t= 0;

– радиус-вектор в момент времени t.

Вектор соединяет начальное и конечное положения точки М. Видим, что вектор равен разности конечного и начального радиус-векторов, т.е. перемещение это изменение радиус-вектора

. (2.1)

В общем случае модуль перемещения S и пройденный путь l – разные величины. Например, рейсовый автобус выехал из гаража и по завершении рабочего дня вернулся в гараж, при этом показания счетчика увеличились на 380 км. Поскольку начальное и конечное положение тела совпадают, перемещение автобуса равно нулю , тогда как пройденный путь отличен от нуля и составляет 380 км.

Модуль перемещения и пройденный путь совпадают только при прямолинейном движении в одном направлении.

Векторное уравнение (2.1) эквивалентно трем скалярным уравнениям

(2.2)

Из системы уравнений (2.2) находим конечные координаты точки:

(2.3)

З ависимости координат тела от времени , y(t), z(t) называются уравнениями движения. Нетрудно видеть, что для решения основной задачи механики (определения координат тела в любой момент времени) нужно знать начальные координаты и проекции перемещения на соответствующие координатные оси. Начальные координаты зависят от выбора системы отсчета. Проекции перемещения зависят от характера движения тела.

Пример 1

На рисунке показана траектория AБB движения материальной точки из A в В. Для описания движения точки девятиклассник Леша ввел систему отсчета. Найдите координаты точки в начале и конце движения. Чему равны проекции и модуль перемещения тела? Какой путь прошла точка?

Начальные координаты – это координаты точки А: .

Конечные координаты – это координаты точки В: .

Проекции перемещения на основании уравнений (2):

Модуль перемещения, т.е. длину вектора , находим через его проекции

.

Пройденный путь – длина траектории, его можно найти, сложив длины прямолинейных участках траектории:

Видим, что длина перемещения S и пройденный путь l не совпадают. Равенство между этими величинами возможно только в случае прямолинейного движения в одном направлении.

Задачи для самостоятельного решения

1 В некоторой системе отсчета координата тела остается неизменной с течением времени. Обязательно ли тело неподвижно в этой системе отсчета?

2 В некоторой системе отсчета координаты тела и остаются неизменными с течением времени. Какой может быть траектория движения тела?

3 Автомобиль проехал 200 км. Какие точки колеса совершили максимальное перемещение? Минимальное перемещение? Какие точки колеса прошли максимальный путь? Минимальный путь?

4 В каком направлении переместилось тело? Сделайте рисунок для каждого задания, выбрав удобный масштаб.

a) м, м;

b) м, м;

c) м, м;

d) м, м.

5 Автобус выехал из гаража в начале рабочего дня и вернулся в этот же гараж по окончании смены. Показания счетчика за рабочий день увеличились на 230 км.

Чему равно перемещение автобуса за смену?

Чему равен путь, пройденный автобусом за смену?

6 Мяч, брошенный вертикально вверх, достиг максимальной высоты 5 м и упал в точку падения. Чему равно перемещение мяча? Чему равен пройденный мячом путь? Подсказка: нарисуйте траекторию мяча.

7 Минутная стрелка настенных часов имеет длину 10 см. Чему равны перемещение и путь, пройденный концом стрелки, за полчаса?

8 Тело находится в точке с начальными координатами м и м. Определите конечные координаты этого тела, если известно, что проекции перемещения тела м и м. Чему равен модуль перемещения тела? Выполните рисунок, выбрав удобный масштаб. Что можно сказать о траектории тела?

9 Тело переместилось из начальной точки с координатами м и м в точку с координатами м и м. Выберите подходящий масштаб и изобразите в тетради графически вектор перемещения и его проекции. Чему равен модуль перемещения?

10 Тропа проходит в северном направлении 3 км, затем сворачивает на юго-восток и тянется еще 4 км, затем делает поворот на северо-восток и тянется еще 4 км. Последние 11 км она направлена строго на юг. Определите путь, пройденный туристом по тропе и модуль его перемещения. Выполните рисунок, выбрав удобный масштаб.

Тест «Траектория. Путь. Перемещение»

Вариант 1

1 В каком из указанных случаев поезд можно принять за материальную точку?

А) при расчете времени движения поезда от Оренбурга до Москвы;

Б) при расчете длины платформы для поезда Оренбург – Москва.

2 В каком из указанных случаев Землю можно принять за материальную точку?

А) при расчете длительности солнечного затмения;

Б) при расчете расстояния от Земли до Солнца.

3 В каком из указанных случаев автомобиль нельзя принять за материальную точку?

А) при расчете тормозного пути перед светофором;

Б) при строительстве гаражного комплекса.

4 Какая из перечисленных величин является векторной?

А) координата тела;

Б) пройденный путь;

В) перемещение;

Г) проекция перемещения.

5 Какая запись не является правильной?

А) L = 5 м; Б) S = 5 м; В) S_х = - 5 м; Г) = 5 м.

6 Автомобиль дважды проехал вокруг Москвы по кольцевой дороге длиной 109 км. Чему равны пройденный автомобилем путь L и перемещение S?

А) L = 109 км, S = 0 км;

Б) L = 218 км, S = 0 км;

В) L = S = 218 км;

Г) L = S = 0 км.

7 В каком случае модуль перемещения и пройденный путь совпадают?

А) самолет из аэропорта Центральный прилетает в Домодедово;

Б) Земля совершает полный оборот вокруг Солнца;

В) автомобиль тормозит перед светофором;

Г) футбольный мяч после удара о штангу возвращается к ноге футболиста.

8 Начальная координата тела м, проекция перемещения м. Чему равна конечная координата тела?

А) 2 м; Б) 6 м; В) – 2 м; Г) – 4 м.

9 Проекции перемещения тела равны м и м. Чему равен модуль перемещения, совершенного телом?

А) - 1 м; Б) 1 м; В) 5 м; Г) 7 м.

10 Проекции перемещения м и м. В каком направлении двигалось тело?

А) в направлении оси ОХ;

Б) против направления оси ОХ;

В) в направлении оси ОY;

Г) против направления оси ОY.

Вариант 2

1 В каком из указанных случаев Луну можно принять за материальную точку?

А) при расчете периода вращения Луны вокруг Земли;

Б) при расчете продолжительности солнечного затмения.

2 В каком из указанных случаев спортсмена можно принять за материальную точку?

А) при определении победителя с помощью фотофиниша;

Б) при определении пути в процессе выполнения затяжного прыжка.

3 В каком из указанных случаев воздушный шар нельзя принять за материальную точку?

А) при расчете подъемной силы шара;

Б) при расчете высоты подъема воздушного шара.

4 Какая из перечисленных величин не является векторной?

А) сила; Б) скорость;

В) перемещение; Г) проекция перемещения.

5 Какая запись является правильной?

А) L = - 5 м; Б) S = - 5 м; В) S_х = - 5 м; Г) = - 5 м.

6 Мяч, брошенный вертикально вверх с балкона, находящегося на высоте 6 м, поднялся на высоту 2 м и упал на землю. Чему равны путь L и перемещение S мяча?

А) L = 10 м, S = 6 м; Б) L = 6 м, S = 8 м;

В) L = S = 8 м; Г) L = S = 10 м.

7 В каком случае модуль перемещения и пройденный путь совпадают?

А) спортсмен пробегает дистанцию 800 м по стадиону;

Б) стрела, выпущенная вертикально вверх, падает на землю;

В) груз, выпущенный из зависшего над землей вертолета, падает на землю;

Г) мяч, брошенный баскетболистом, попадает в кольцо.

8 Начальная координата тела x₀ = - 2 м , проекция перемещения S_x = 4 м. Чему равна конечная координата тела?

А) 2 м; Б) - 6 м; В) -2 м; Г) 6 м.

9 Самолетик, выпущенный из окна с высоты 4 м, падает на поверхность земли на расстоянии 3 м от стены дома. Чему равен модуль перемещения, совершенного телом?

А) - 1 м; Б) 1 м; В) 5 м; Г) 7 м.

10 Проекции перемещения S_x = 0 м и S_y = 10 м. В каком направлении двигалось тело?

А) в направлении оси ОХ; Б) против направления оси ОХ;

В) в направлении оси ОY; Г) против направления оси ОY.