§ 11 Кинематические связи - метод малых перемещений

При изучении движения мы, в первую очередь, наблюдаем перемещения тел, их траектории. Зная соотношения между перемещениями связанных тел, можно установить связь между их скоростями и ускорениями.

Пример 1 Система блоков

Грузы А и В соединены нерастяжимым тросом. В некоторый момент скорость и ускорение груза А равны соответственно м/с и м/с². Чему равны и как направлены в этот момент скорость и ускорение груза В?

Решение:

Грузы 1 и 2 связаны, это значит, что двигаться независимо друг от друга они не могут.

Шаг 1 Трос нерастяжим – это значит, что изменением его длины за счет деформации под действием грузов можно пренебречь. Если свободный конец троса вытягивается на какое-то расстояние S, то длина троса до точки закрепления на это же расстояние S укорачивается.

Ш аг 2 За малое время dt блок с грузом А переместился на малое расстояние

Это означает, что трос, на котором держится блок, должен вытянуться на . Один конец троса закреплен, значит, трос может вытянуться только с той стороны, где прикреплен груз В. Тогда соотношение между малыми перемещениями грузов А и В следующее

. (11.1)

Шаг 3 За малый интервал времени изменением скорости можно пренебречь и считать движение грузов равномерным. Разделим обе части равенства (11.1) на dt

.

Производная от перемещения – это мгновенная скорость. Следовательно,

. (11.2)

Шаг 4 По определению мгновенное ускорение – это производная от мгновенной скорости . Продифференцируем выражение (11.2)

.

Шаг 5 Окончательно получаем .

Пример 2 Стержень приводит клин в движение

К лин, имеющий угол при основании 30⁰, лежит на горизонтальной плоскости. Вертикальный стержень опускается и заставляет клин скользить по плоскости. В некоторый момент времени скорость стержня равна v = 10 см/с. Какова скорость клина в этот момент?

Ш аг 1 За мало время нижний конец стержня опустился по вертикали на малое расстояние . При этом клин переместился по горизонтали на малое расстояние

Шаг 2 Малые перемещения клина и стержня связаны соотношением

. (11.3)

Шаг 3 Разделим выражение (11.3) на

.

Шаг 4 Производная от перемещения – это мгновенная скорость, следовательно, .

Окончательно получаем м/с.

Если продифференцировать выражение, связывающее скорости стержня и клина, получим связь между мгновенными ускорениями тел .

Пример 3 Угловая скорость вращения доски

Доска длиной L одним концом упирается в стену, другой конец доски лежит на краю кузова грузовика. Грузовик начинает двигаться со скоростью . Найдите зависимость угловой скорости доски от угла между доской и поверхностью дороги.

Шаг 1 За мало время край кузова автомобиля переместился на малое расстояние . При этом доска повернулась на малый угол .

Шаг 2 По определению угловая скорость вращения доски равна .

Проведем дугу радиусом ОА. Центральный угол, стягивающий дугу АС равен .

Гипотенуза ОА прямоугольного треугольника ОАС равна .

В треугольнике ACD сторона АС – дуга, но ввиду малости угла близка к участку прямой. С другой стороны, угол D близок к углу опять же ввиду малости . Катет АС равен .

Для угла поворота получаем:

.

Шаг 3 Угловая скорость вращения доски

.

Задания для самостоятельного решения

1 Грузы А и В связаны нерастяжимым тросом. Найдите соотношение между скоростями грузов.

А) ; Б) ;

В) ; Г) .

2 Грузы А и В связаны нерастяжимым тросом при помощи системы блоков. Найдите соотношение между скоростями грузов.

3 Клин 1 опускается, приводя в движение жесткий стержень 2, который в свою очередь толкает клин 3. В некоторый момент скорость клина 1 равна . С какой скоростью в этот момент двигается клин 3?

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) .

4 Груз В поднимают при помощи системы подвижных и неподвижных блоков, вытягивая свободный конец веревки со скоростью см/с. С какой скоростью поднимается груз В?

А) 40/3 см/с; Б) 40 см/с;

В) 20 см/с; Г) 10 см/с.

5 Три груза связаны нерастяжимым тросом и двигаются с разными ускорениями так, что трос постоянно натянут. Ускорение первого груза , ускорение второго груза . С каким ускорением движется третий груз?

6 При помощи подвижного блока клин приводят в движение. Определите, с какой скоростью поднимается стержень, если скорость блока см/с.