3 С какой скоростью катится без проскальзывания катушка, если нить вытягивают со скоростью V? Чему равно ускорение точек на ободе катушки?

4 Внутренняя и внешняя поверхности цилиндров подшипника вращаются в противоположных направлениях с угловыми скоростями и соответственно. Определите линейную скорость шариков, находящихся в подшипнике, если они не проскальзывают относительно его поверхностей. Радиусы внутренней и наружной поверхностей и .

5 Конус, диаметр основания которого 10 см и образующая 13 см, положили на бок. От небольшого толчка конус стал вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его вершину, двигаясь по поверхности стола без проскальзывания. Сколько оборотов совершит конус вокруг своей оси, когда вернется в исходное положение.

6 Автомобиль двигается со скоростью 72 км/ч по горизонтальной дороге. Радиус колес автомобиля 58 см. На какую максимальную высоту могут подниматься капельки грязи, срывающиеся с колеса?

7 Автомобиль ВАЗ двигается со скоростью 72 км/ч по горизонтальной дороге. Радиус колес автомобиля 58 см. Какую минимальную дистанцию следует соблюдать автомобилю Ока, следующему за ВАЗом, чтобы капельки грязи, срывающиеся с его колес, не попадали на капот Оки?

8 Участок серпантина можно представить как дорогу, «накрученную» на цилиндр радиуса R, угол наклона полотна дороги к горизонту . Чему равно ускорение автомобиля, поднимающегося по этому участку серпантина с постоянной по модулю скоростью v?

9 На рисунке показаны скорости концов однородного жесткого стержня длиной 1 м. Каков характер движения стержня?

см/с

см/с

§ 13 Относительность движения

Движение одного и того же тела разным наблюдателям видится по-разному. По существу наблюдатель связывает с собой систему отсчета, поэтому можно сказать, что движение тела в разных системах отсчета разное. Например, плот двигается относительно берега, но покоится относительно воды. Пассажир автобуса покоится относительно автобуса, но двигается относительно дороги. Самолет в ветреную погоду держит курс на северо-запад (двигается относительно воздуха на северо-запад), а относительно земли перемещается на север и т.д.

На практике бывает важно знать, как связаны перемещения, скорости и ускорения тела относительно разных наблюдателей, т.е. относительно разных систем отсчета. Скорость самолета относительно воздуха важно знать, ибо от нее зависит сила сопротивления, а значит и сила тяги двигателя, мощность, которую он должен развивать и т.д. Скорость этого же самолета относительно земли позволяет рассчитать время полета.

Установим связь между кинематическими величинами, характеризующими движение тела в разных системах отсчета.

Пусть за движущейся точкой М наблюдают из двух систем отсчета - К и К’. Если система отсчета K’ двигается относительно системы К, условно назовем систему К неподвижной (НСО), а систему K’ подвижной (ПСО).

Рисунок 56 – Радиус-векторы точки в разных системах отсчета

Все кинематические величины, определенные в НПО, называют абсолютными. Величины, определенные в ПСО, - относительные. Величины, характеризующие точку O’ (начало ПСО) в НСО, называют переносными.

На рисунке показаны - радиус-вектор точки М в НСО, - радиус-вектор точки М в ПСО, - радиус-вектор точки O’, начала ПСО, в НСО.

Соотношение между радиус-векторами видно из рисунка:

. (13.1 )

Через малый интервал времени dt положение точек М и O’ изменится, а соотношение между радиус-векторами примет вид

. 13.2)

Разность выражений (13.1) и (13.2) дает соотношение между изменениями радиус-векторов или перемещениями:

( 13.3)

С точки зрения «здравого смысла» соотношения (13.1) и (13.3) кажутся совершенно очевидными, они основаны на нашем жизненном опыте, который свидетельствует о том, что расстояния между точками пространства не зависят от выбора системы отсчета. На языке физики это звучит так: длины абсолютны.

Кроме того, наш жизненный опыт говорит нам о том, что время для неподвижного и подвижного наблюдателей течет одинаково . Время в классической механике абсолютно.

Соотношения между радиус-векторами точки и временем в разных системах отсчета называются преобразованиями Галилея. Оказывается, эти преобразования справедливы только при движении со скоростями, много меньшими скорости света . В случае «быстрых движений» преобразования Галилея заменяются на преобразования Лоренца.

Разделим обе части уравнения (13.3) на время dt

.

По определению отношение малого перемещения ко времени (производная от радиус-вектора) – это мгновенная скорость:

. (13.4 )

Выражение (13.4) – закон сложения скоростей в классической механике (механике малых скоростей). Если ПСО движется поступательно относительно НСО, то, дифференцируя выражение (13.4) еще раз, получим закон сложения ускорений

. (13.5)

Подведем итоги. Связь между кинематическими характеристиками движения выглядит следующим образом

Примеры решения задач

Пример 1 Относительные скорости поездов

Два поезда движутся со скоростями v₁ = 36 км/ч и v₂ = 54 км/ч. Найдите скорость второго поезда относительно первого и покажите ее на рисунке в двух случаях:

а) поезда движутся навстречу друг другу;

б) второй поезд догоняет первый.

Решение:

а) поезда движутся навстречу друг другу;

Шаг 1 Делаем рисунок, изображая скорости поездов.

Шаг 2 Рассматриваемое тело – второй поезд.

Неподвижная система отсчета – земля.

Подвижная система отсчета – первый поезд.

Следовательно, скорость второго поезда – это скорость тела в НСО ,

Скорость второго поезда – скорость ПСО в НСО .

Шаг 3 Записываем закон сложения скоростей в векторной форме

Шаг 4 Находим построением вектор скорости второго поезда относительно первого

Из построения видно, что скорость второго поезда направлена влево – навстречу первому и численно равна

.

б) второй поезд догоняет первый.

Делаем рисунок, изображая скорости поездов

Очевидно, пункты 1- 3 предыдущего решения будут выглядеть без изменений. Относительная скорость второго поезда равна .

Находим построением вектор скорости второго поезда относительно первого

Из построения видно, что скорость второго поезда направлена влево – второй поезд догоняет первый. Численно относительная скорость равна

.

Пример 2 Модуль скорости шара, упруго отразившегося от движущейся стенки

Ш арик и массивная плита движутся навстречу друг другу со скоростями соответственно и . Какой будет скорость шарика после абсолютно упругого удара о плиту?

Решение:

Шаг1 При упругом ударе легкого шарика о неподвижную массивную плиту скорость шарика остается неизменной по модулю. При этом угол падения равен углу отражения. В нашем случае шарик налетает на плиту перпендикулярно поверхности, следовательно, он должен отскочить в противоположном направлении.

Ш аг 2 Перейдем в ПСО, связанную с плитой. В этой системе отсчета плита неподвижна.

Скорость шарика относительно плиты .

Ш аг 3 После упругого удара шарик отлетает от плиты с той же скорость.

Шаг 4 Вернемся в НПО, связанную с землей. Скорость шарика в Системе отсчета, связанной с землей, - это абсолютная скорость

Шарик отскакивает от движущейся навстречу плиты со скоростью, большей начальной на две скорости плиты.

Подумайте, какой будет скорость шарика после удара, если он догоняет плиту. Если плита догоняет шарик?

Пример 3 Скорость ветра измеряют на движущемся корабле

Корабль движется точно с запада на восток со скоростью = 10 м/с. Известно, что ветер дует точно с юго-запада. Скорость ветра, измеренная на палубе корабля, равна = 8 м/с. Найдите скорость ветра относительно земли.

Решение:

Шаг 1 «Тело», рассматриваемое в задаче, - воздух.

Неподвижная система отсчета – земля.

Подвижная система отсчета – корабль.

Скорость ветра, измеренная на корабле, - это скорость тела в подвижной системе отсчета, т.е. относительная скорость .

Скорость корабля относительно земли – это скорость ПСО в НСО, т.е. переносная скорость .

Скорость ветра относительно Земли – это скорость тела в НСО, т.е. абсолютная скорость .

Шаг 2 Записываем закон сложения скоростей в векторной форме

Шаг 3 Изобразим треугольник скоростей, зная, что вектор абсолютной скорости направлен под углом 45⁰ в лини Запад-Восток.

Шаг 4 Запишем для треугольника скоростей теорему косинусов

.

Подставляем численные значения и решаем квадратное уравнение относительно :

.

Шаг 5 Анализ результата.

Получили два решения. Оба имеют право на существование! Выглядит это так:

Модуль относительной скорости одинаков, а вот ее направление разное. О нем, кстати, в условии ничего и не говорилось.

Пример 4 Мотоциклист обгоняет колонну автомобилей

Автоколонна длиной 300 м движется со скоростью 15 м/с. Из хвоста колонны выезжает мотоциклист со скоростью 90 км/ч. Доехав до головной машины, он тут же разворачивается и с такой же скоростью возвращается обратно. Сколько времени потратил мотоциклист на движение туда и обратно?

Решение:

Шаг 1 Тело, рассматриваемое в задаче – мотоциклист. Неподвижная система отсчета – земля, подвижная система отсчета – автоколонна.

Скорость мотоциклиста относительно земли – это абсолютная скорость .

Скорость автоколонны – это скорость ПСО в НСО, т.е. переносная скорость . Длина колонны – перемещение мотоциклиста в ПСО, т.е. относительное перемещение .

Шаг 2 Чтобы рассчитать время движения, необходимо знать перемещение и соответствующую скорость. Известно относительное перемещение м, следовательно, задача сводится к нахождению относительной скорости . Ее найдем из закона сложения скоростей

Ш аг 3 При движении к голове колонны

Шаг 4 Возвращение в хвост колонны

Шаг 5 Полное время движения

.

Пример 5 Задачи о переправе

а) Переправа за кратчайшее время

К атер должен переплыть реку шириной 200 м. Скорость течения реки 2 м/с, скорость катера в стоячей воде 10 м/с. За какое минимальное время катер может переплыть реку? Каким должен быть при этом курс катера? Снесет ли катер течением, и если да, то на сколько?

Решение:

Шаг 1 Тело, рассматриваемое в задаче – катер. Неподвижная система отсчета – земля, подвижная система отсчета – вода.

Скорость катера относительно земли – это абсолютная скорость .

Скорость течения – это скорость ПСО в НСО, т.е. переносная скорость . Скорость катера в стоячей воде – это скорость тела в ПСО, т.е. .

Шаг 2 Чтобы рассчитать время движения, необходимо знать перемещение и соответствующую скорость.

Известна относительная скорость катера, она постоянна и равна Очевидно, для того, чтобы время переправы было минимальным, относительное перемещение тоже должно быть минимальным, ибо . Относительно перемещение будет минимальным и равным ширине реки , если катер будет плыть перпендикулярно течению.

Шаг 3 Строим треугольники скоростей и перемещений

Шаг 4 Минимальное время переправы .

Шаг 5 Снос – величина переносного перемещения .

б) Переправа по кратчайшему пути

В предыдущей задаче катеру необходимо переплыть реку по кратчайшему пути. Каким должен быть при этом курс катера? Какое время понадобится для такой переправы?

Решение:

Шаг 1 Кратчайший путь – это путь без сноса течением. Значит, абсолютное перемещение катера перпендикулярно берегу . Перпендикулярна берегу и абсолютная скорость. Понятно, что в этом случае катер должен держать курс выше по течению.

Шаг 2 Находим абсолютную скорость катера

.

Шаг 3 Время переправы . Это больше минимального времени переправы, рассчитанного в предыдущем случае.

Шаг 4 Курс катера

Важное замечание! Синус не может принимать значения, большие единицы, следовательно, переправа по кратчайшему пути возможна только при условии, что скорость течения меньше скорости плавсредства относительно воды (собственной скорости или скорости в стоячей воде)

в) Переправа с минимальным сносом

Пловец, скорость которого в стоячей воде 1 м/с, переплывает бурную реку, скорость течения которой 2 м/с. Пловец хочет, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу он должен плыть? На какое расстояние от места старта будет снесен пловец, если ширина реки 100м?

Решение:

Шаг 1 Тело, рассматриваемое в задаче – пловец. Неподвижная система отсчета – земля, подвижная система отсчета – вода.

Скорость пловца в стоячей воде – это скорость пловца относительно воды, т.е это относительная скорость . Скорость пловца относительно земли – это абсолютная скорость . Скорость течения – это скорость ПСО в НСО, т.е. переносная скорость .

Ш аг 2 Скорость пловца меньше скорости течения. В этом случае переправа по кратчайшему пути (без сноса) не возможна. Снос минимален, когда траектория пловца составляет с береговой линией наибольший угол.

Шаг 3 Абсолютное перемещение сонаправлено с абсолютной скоростью . Таким образом, задача сводится к отысканию максимально угла между абсолютной скоростью и берегом.

Закон сложения скоростей .

Скорость течения всегда направлена вдоль берега. Скорость пловца может быть направлена по-разному, но ее конец всегда находится на окружности радиусом, равным модулю . Понятно, что надо стараться плыть как-то против течения. Но как?

Исследуем ситуацию.

Из рисунка видно, что составляет наибольший угол с берегом, когда траектория пловца касается окружности, на которой лежат концы всех возможных . Угол , под которым следует держать курс пловцу, может быть найден как

В нашем случае .

Шаг 4 Найдем величину сноса.

Треугольник АВС и треугольник скоростей подобны, следовательно:

г) Меняющееся течение реки

Катер, собственная скорость которого 10 м/с переправляется через реку, желая сделать это за кратчайшее время. Скорость течения непосредственно у берега равна нулю и растет прямо пропорционально расстоянию до берега. В середине реки скорость течения достигает своего максимального значения u₀ = 5 м/с. Ширина реки 100 м. Определите время переправы и величину сноса катера.

Решение:

Шаг 1 Тело, рассматриваемое в задаче – катер. Неподвижная система отсчета – земля, подвижная система отсчета – вода.

Собственная скорость катера – это скорость катера относительно воды, т.е это относительная скорость . Скорость течения – это скорость ПСО в НСО, т.е. переносная скорость .

Шаг 2 Введем систему отсчета, направив координатные оси вдоль берега и перпендикулярно берегу. Начало отсчета времени – начало движения катера.

Шаг 3 Катер хочет переправиться за кратчайшее время. Для этого относительная скорость должна быть направлена перпендикулярно течению.

Видно, что по оси ОУ катер двигается равномерно, ибо . Уравнение движения по ОУ: .

По ОХ скорость катера относительно берега совпадает со скоростью течения, она меняется по закону .

Подставим значение координаты y в выражение для расчета скорости по оси ОХ:

.

Проекция скорости по ОХ меняется с течение времени по линейному закону, значит по ОХ катер двигается равноускоренно с ускорением .

Шаг 4 Величина сноса к середине реки составит

.

Время найдем из уравнения движения по ОУ

.

Величина сноса до середины реки .

Из соображений симметрии ясно, что при достижении катером противоположного берега весь снос будет вдвое больше – 25 м .

Контрольные вопросы

1 Установите соответствие между физической величиной и ее определением.

А) Абсолютное перемещение Б) Абсолютная скорость В) Относительное перемещение Г) Относительная скорость Д) Переносное перемещение Е) Переносная скорость

1 – это скорость тела в подвижной системе отсчета 2 – это перемещение подвижной системы отсчета в неподвижной 3 – это скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной 4 – это перемещение тела в неподвижной системе отсчета 5 - это перемещение тела в подвижной системе отсчета 6 – это скорость тела в неподвижной системе отсчета

А	Б	В	Г	Д	Е

2 Движение тела М изучают два наблюдателя – с одним связана неподвижная система отсчета К, с другим – система отсчета К^/, движущаяся относительно К. Как связаны между собой перемещения тела М в этих системах отсчета?

А) ; Б) ; В) .

3 Движение тела М изучают два наблюдателя – с одним связана неподвижная система отсчета К, с другим – система отсчета К^/, движущаяся относительно К. Как связаны между собой скорости тела М в этих системах отсчета?

А) ; Б) ; В) .

4 Человек находится на плоту. Скорость течения реки 0,5 м/с. Человек начинает перемещаться по плоту со скоростью 1,2 м/с. Какова скорость человека относительно берега, если:

• он двигается по направлению течения реки;

• он двигается против направления течения реки;

• он двигается перпендикулярно течению реки.

Сделайте пояснительные рисунки к каждому случаю.

5 В безветренную погоду велосипедист двигается со скоростью 8 м/с. С какой скоростью ветер обдувает велосипедиста? Куда направлена скорость ветра?

А) 8 м/c, ветер дует в спину;

Б) 8 м/c, ветер дует в лицо;

В) в безветренную погоду ветер не дует.

6 В ветреную погоду велосипедист двигается со скоростью 8 м/с относительно земли. Скорость ветра относительно земли направлена против движения велосипедиста и равна 5 м/с. С какой скоростью ветер обдувает велосипедиста? Куда направлена скорость ветра?

А) 3 м/c, ветер дует в спину; Б) 3 м/c, ветер дует в лицо;

В) 13 м/c, ветер дует в спину; Г) 13 м/c, ветер дует в лицо.

7 В ветреную погоду велосипедист двигается со скоростью 8 м/с относительно земли. Скорость ветра относительно земли направлена по ходу движения велосипедиста и равна 5 м/с. С какой скоростью ветер обдувает велосипедиста? Куда направлена скорость ветра?

А) 3 м/c, ветер дует в спину; Б) 3 м/c, ветер дует в лицо;

В) 13 м/c, ветер дует в спину; Г) 13 м/c, ветер дует в лицо.

8 Подъемный кран вытягивает трос, к которому прикреплен груз со скоростью 0,5 м/с. Сам кран при этом перемещается по горизонтали со скоростью 1,2 м/с. Какое перемещение совершит груз относительно земли за через 10 с после начала подъема?

А) 5 м; Б) 12 м; В) 10,9 м; Г) 13 м.

9 Длина эскалатора 120 м, он движется со скоростью 1,5 м/с. Отличник Кузькин торопится на контрольную работу по физике и, выйдя из вагона, бежит по эскалатору. На преодоление эскалатора Кузькину потребовалось 5 мин. Какой путь по эскалатору проделал отличник Кузькин в надежде заработать очередную пятерку? В каком направлении он двигался?

А) 120 м; Б) 450 м; В) 330 м; Г) 570 м.

Кузькин бежит (против движения, по направлению движения) эскалатора.

10 Фандорин с воздушного шара наблюдает за передвижением колонны турецких войск. Он видит, что колонна движется на северо-восток со скоростью 5,1 км/ч. Найдите перемещение воздушного шара относительно земли за 2 минуты наблюдения, если колонна в действительности двигалась на восток. Во время наблюдения дул северный ветер.

А) 10,2 км; Б) 7, 2 км; В) 169 м; Г) 120 м.

11 Лодка переправляется через реку шириной 45 м по кратчайшему пути. Скорость течения 2 м/с, скорость лодки в стоячей воде 3 м/с. Сколько времени займет переправа?

А) 12,5 с; Б) 15 с; В) 20 с; Г) 22,5 с.

12 Минимальное время, за которое пловец переплывает реку – 200 с. Траектория пловца составляет угол 60⁰ с береговой линией. Скорость пловца в стоячей воде 5 м/с. На какое расстояние течение снесет пловца относительно места старта?

А) 866 м; Б) 500 м; В) 577 м; Г) 1732 м.

Задачи для самостоятельного решения

Движение вдоль одной прямой

1 Два поезда движутся со скоростями = 36 км/ч и = 54 км/ч. Пассажир первого поезда замечает, что второй состав проходит мимо него за 6 с. Какова длина второго поезда? Рассмотрите две ситуации:

а) поезда движутся навстречу друг другу;

б) второй поезд догоняет первый.

2 Теплоход длиной 300 м движется прямолинейно по озеру. Катер, имеющий скорость 90 км/ч, проходит расстояние от кормы до носа движущегося теплохода и обратно за 37,5 с. Найдите скорость теплохода.

3 Колонна войск, растянувшись в длину на 2 км, движется по шоссе со скоростью 5 км/ч. Командир, находясь в арьергарде, посылает мотоциклиста с распоряжением головному отряду. Через 10 мин мотоциклист возвратился. Определите скорость движения мотоциклиста, считая, что в обе стороны он двигался с одинаковой скоростью.

4 По неподвижному эскалатору метро пассажир поднимается за время t₁ = 120 с, а по движущемуся (при той же скорости движения относительно ступенек) – за t₂ = 30 с. Определите время подъема пассажира, неподвижно стоящего на эскалаторе.

5 Эскалатор метро спускает идущего по нему вниз человека за время, равное t₁ = 1 мин. Если человек побежит по эскалатору со скоростью втрое большей, то на спуск уйдет в два раза меньше времени. Как долго спускаются остальные пассажиры, стоящие на эскалаторе.

6 Любопытный ученик решил узнать, сколько ступенек на открытой для пассажиров стороне эскалатора. Спускаясь по движущемуся вниз эскалатору, он насчитал 50 ступенек. Спускаясь с вдвое большей скоростью, он насчитал 75 ступенек. По этим данным помогите любопытному ученику узнать количество ступенек открытой части эскалатора.

7 Спортсмены бегут колонной длины со скоростью . Навстречу бежит тренер со скоростью . Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, разворачивается и начинает бежать назад с той же по модулю скоростью . Какова будет длина колонны, когда все спортсмены развернутся?

Треугольник скоростей

1 Самолет в безветренную погоду взлетает со скоростью = 40 м/с под углом = 10⁰. Внезапно начинает дуть горизонтальный встречный ветер, скорость которого = 10 м/c. Какой стала скорость самолета относительно земли?

2 Поезд движется на север со скоростью = 20 м/с. Пассажиру вертолета, пролетающего над поездом, кажется, что поезд движется на запад со скоростью = 20 м/с. Найдите скорость вертолета и направление его движения.

3 Корабль плывет на юг со скоростью 42,3 км/ч. Заметив в море катер, наблюдатель, находящийся на палубе корабля, определил, что катер движется на северо-восток со скоростью 30 км/ч. Какова абсолютная скорость катера и куда он относительно земли движется?

4 Когда автобус стоит на остановке, капли дождя оставляют на боковом стекле вертикальные следы, а когда он едет со скоростью 72 км/ч, следы капель наклонены к вертикали под углом 30⁰. С какой скоростью падают капли?

5 При скорости ветра 20 м/с скорость капель дождя 40 м/с. Какой будет скорость капель при скорости ветра 5 м/с?

6 На тренировке баскетболисты Коротков и Меньшов одновременно бросили мячи друг другу со скоростями м/с и м/с. Направления начальных скоростей составляют с горизонталью углы соответственно и . Определите модуль относительной скорости мячей через 1 с после бросков.