§ 7 Свободное падение

Свободным падением называют падение тел в пустоте (при отсутствии сопротивления со стороны атмосферы). Падение тел в конце 17 в. исследовал итальянский ученый Галилео Галилей. Он экспериментально доказал, что, во-первых, свободное падение является равноускоренным движением. Во-вторых, ускорение, с которым падают все тела, не зависит от массы тела, оно для всех тел одинаково.

Ускорение, с которым падают все тела, называют ускорением свободного падения . Это ускорение зависит, в первую очередь, от планеты. Кроме того, ускорение зависит от расстояния до центра планеты – подъем или погружение вглубь планеты сопровождается уменьшением ускорения свободного падения. За счет вращения планеты ускорение свободного падения на экваторе меньше, чем на полюсе.

Таблица 5 – Ускорение свободного падения на разных планетах

Небесное тело	Земля	Луна	Марс	Венера	Юпитер	у поверхности Солнца
g, м/с2	9,81	1,62	3,7	8,9	25,8	274

Ускорение свободного падения одинаково и на спуске, и на подъеме. Это означает, что подъем и падение тела описываются одинаковыми уравнениями. Рассмотрим некоторые закономерности свободного падения.

Пример 1 Тело брошено вертикально вниз

С балкона, находящегося на высоте h = 50 м, выронили ключ. Запишите зависимость скорости тела и его координаты от времени. Сколько времени будет падать ключ? Какой будет его скорость непосредственно перед ударом о землю? Как изменится ответ, если начальная скорость направлена вниз и равна . Ускорение свободного падения примите за .

Ш аг 1 Выполняем рисунок, на котором изображаем вектора скоростей и ускорения.

Шаг 2 Координатную ось OY направим вниз, чтобы проекции векторов перемещения, скорости и ускорения были положительными. Начало отсчета времени – момент начала движения.

Шаг 3 Движение равноускоренное. Записываем уравнения для скорости и координаты в общем виде:

Используя рисунок, переходим от проекций векторов к их модулям

Нетрудно видеть, что при свободном падении без начальной скорости перемещение прямо пропорционально квадрату времени S ~ t². Следовательно, . Это значит, что перемещения тела за одну, две, три… секунды относятся как квадраты натуральных чисел:

.

Перемещение за первую секунду падения .

Перемещение за вторую секунду падения .

Перемещение за третью секунду падения .

Видим, что перемещения за первую, вторую, третью… секунды относятся как последовательные нечетные числа:

Совершенно не обязательно рассматривать промежутки времени длительностью по 1 секунде. Перемещения свободно падающего тела за любые последовательные равные промежутки времени относятся как нечетные числа. Именно такие соотношения для перемещений были получены Галилеем при наблюдении за падающими телами. Этот факт и позволил ученому сделать вывод о равноускоренном характере свободного падения тел.

Шаг 4 В момент падения координата тела равна . Время находим из уравнения для координаты

.

Скорость перед ударом о землю можно найти двумя способами:

а) непосредственной подстановкой времени падения в зависимость скорости от времени ;

б) из выражения для перемещения

.

Выразим значение скорости в других единицах:

Даже мелкий предмет, оброненный с балкона и разогнавшийся в процессе падения до скорости порядка 100 км/ч, способен произвести сильное разрушительное действие. «Не стойте и не прыгайте, не пойте, не пляшите там, где идет строительство или подвешен груз».

В случае, когда начальная скорость тела направлена вниз, уравнение движения и зависимость скорости от времени принимают вид

Время опять находим из уравнения движения, решая квадратное уравнение

Аналогично двумя способами можно рассчитать конечную скорость:

а)

б) .

Пример 2 Тело брошено вертикально вверх

Робин Гуд стреляет вертикально вверх. Скорость стрелы в момент отрыва от тетивы составляет . Запишите зависимость скорости стрелы и ее координаты от времени. Найдите время подъема, спуска и полное время полета, если она падает на первоначальный уровень. На какой высоте должна лететь утка, чтобы стрела в нее не попала? Через какое время стрела окажется на высоте 10 м? Какой будет скорость стрелы на высоте 15 м?

Ш аг 1 Выполняем рисунок, на котором изображаем вектора скоростей и ускорения.

Шаг 2 Координатную ось OY направим вверх. Начало отсчета времени – момент начала движения.

Шаг 3 Движение равноускоренное. Записываем уравнения для скорости и координаты в общем виде:

Используя рисунок, переходим от проекций векторов к их модулям

Эти уравнения включают в себя и подъем, и последующее падение мяча. Не нужно разбивать движение мяча на два этапа: подъем и падение!

Шаг 4 Стрела поднимается до тех пор, пока не остановится. В верхней точке траектории :

.

Максимальную высоту подъема можно рассчитать, подставив время подъема в уравнение движения. Однако рациональнее найти h_max иначе:

Шаг 5 Время падения с высоты h_max можно рассчитать, как в примере 1:

.

Видим, что времена подъема и спуска на первоначальный уровень одинаковые. Все время полета .

Все время полета можно было определить иначе, используя уравнение движения тела. В момент падения координата тела становится равной нулю , тогда

Физический смысл двух корней уравнения: на нулевом уровне тело побывало дважды – в момент начала движения и в момент приземления.

Шаг 6 Для нахождения времени, через которое тело будет на высоте у = 10 м, опять воспользуемся уравнением движения

,

.

Смысл двух корней в том, что на высоте 10 м стрела побывала дважды: первый раз на подъеме, второй раз на спуске.

Нетрудно видеть, что в сумме t₁ и t₂ дают все время полета . Это означает, что спускаться с высоты 10 м стрела будет такое же время, как и подниматься на эту высоту.

Шаг 7 Скорость на высоте h = 15 м найдем из уравнения для перемещения

.

Два противоположных по знаку корня – скорости на подъеме и на спуске. Интересно, что на одной высоте скорость тела на подъеме и на спуске одинакова по модулю. Следовательно, если тело падает на первоначальный уровень, то модуль скорости перед ударом о землю равен модулю начальной скорости.

Анализируя последние два пункта решения, видим, что подъем и спуск происходят совершенно одинаково. Если провести видеосъемку процесса падения, то, прокручивая видеоматериал в обратном направлении, увидим подъем тела. Подобная операция в физике называется T – симметрией, т.е. симметрией по отношению к обращению времени . По существу, прокручивая видеозапись в обратном направлении, мы поворачиваем время вспять. Физические величины, меняющие знак при обращении времени, называются T – нечётными, не меняющие знак  – T – чётными. При свободном падении координата и ускорение являются T – чётными величинами, а скорость – T – нечётной величиной.

Пример 3 Случай на стройке

За последнюю секунду свободного падения кирпич прошел две трети пути. С какой высоты падал кирпич? Начальная скорость тела равна нулю.

Шаг 1 Выберем систему отсчета. Координатную ось направим вниз, начало координат поместим в точку, из которой тело начало двигаться. Начало отсчета времени – момент начала движения.

Шаг 2 Уравнение движения тела

.

Шаг 3 Запишем перемещения тела за все время движения t и время :

.

Шаг 4 Решаем полученную систему

Шаг 5 Находим высоту, с которой падал кирпич, .

Задания для самостоятельного решения

1 Тело падает без начальной скорости. Какой будет скорость тела через 2 с после начала падения? Какой путь пройдет тело?

2. Какой путь проходит свободно падающее тело за четвертую секунду при условии, что за это время тело не ударилось о землю? Начальная скорость тела равна нулю.

3 «Меркурий Сити» — самый высокий небоскрёб в Европе, находится на территории московского международного делового центра «Москва-Сити». Высота здания составляет 338,8 метров. С крыши небоскреба без начальной скорости падает камень. Сколько времени происходит падение, если сопротивление воздуха не учитывать? Какой будет скорость камня перед ударом о землю? Совпадет ли полученный вами результат с реальным?

4 Спелеолог определяет глубину пещеры. Он бросает камушек и одновременно включает секундомер. Спелеолог фиксирует эхо через 2,5 с после броска. Оцените глубину пещеры. Как повлияет на результат учет скорости звука?

5. При помощи линейки определите реакцию своей руки. Под реакцией руки понимают время, через которое рука выполняет команду, посылаемую головным мозгом.

6 Мяч брошен вверх со скоростью 15 м/с. Через какое время мяч упадет на землю? На какую максимальную высоту поднимется мяч?

7 Сигнальная ракета выпушена вертикально вверх со скоростью 40 м/с. Через какое время она будет на высоте 100 м? Какой будет скорость ракеты на этой высоте?

8 Тело брошено вертикально вверх со скоростью v₀. Постройте графики зависимостей проекций ускорения, скорости и координаты тела от времени.

9 Мяч падает без начальной скорости с высоты h. Постройте графики зависимостей проекций ускорения, скорости и координаты тела от времени. Удары мяча о пол абсолютно упругие.

10 В последнюю секунду падения свободно падающее тело проходит половину пути. С какой высоты падало тело?

11 В последнюю секунду падения тело проходит путь, вдвое больший, чем в предыдущую секунду. С какой высоты падало тело, если его начальная скорость равна нулю?

1 2 Последние 45 м пути свободно падающее тело прошло за 2 секунды. С какой высоты падало тело?

13 Аэростат начал подниматься с поверхности земли с постоянным ускорением 1 м/с². Через 20 с после начала движения из аэростата выпал планшет. Через какое время он упадет на землю? Какую скорость будет иметь планшет перед у даром о землю?

14 Волейболист отбивает мяч практически у самого пола. Отбитый спортсменом мяч летит вертикально вверх с начальной скоростью 15 м/с. После упругого удара о потолок мяч падает на пол. Сколько времени мяч находился в полете, если высота потолка 8 м?

15 Знайка проводит научный эксперимент. Воздушный шар с малышами поднимается с постоянной скоростью v = 3 м/с. В момент отрыва шара от земли Знайка включает секундомер. Через каждые 5 секунд Незнайка выбрасывает без начальной скорости относительно аэростата небольшие мешки с песком. Знайка, стоящий на земле, получает мешок, фиксирует время получения мешка и отмечает на графике высоту аэростата и время «получения" мешка. Получит ли Знайка прямолинейный график? Почему?