Добавил:

Mymnan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЗИвВС метода Кобяка.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.09.2014

Размер:

1.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

2.10. Шифры перестановки

Широкое распространение на практике получили так называемые маршрутные перестановки, основанные на использовании некоторых геометрических фигур. Фрагмент открытого текста записывается в такую фигуру по некоторой траектории, а шифрованным текстом является последовательность, полученная при считывании текста по другой траектории.

Пример. Текст: «пример маршрутной перестановки». Для шифрования используем прямоугольную таблицу размером 4 7 (табл. 2.5). Запись фразы выпоняется по строкам слева направо и справа налево. Считывание выполняется по столбцам начиная с левого верхнего угла вниз по столбцу и далее вверх по соседнему справа столбцу; затем вниз и т. д. В результате получаем фразу кодированного сообщения, с трудом поддающуюся раскодированию без знания таблицы: «пноикйтр иупвоерм ешрнаерр маст».

Таблица 2.5

п	р	и	м	е	р	м
н	т	у	р	ш	р	а
о	й	п	е	р	е	с
и	к	в	о	н	а	т

Другой класс алгоритмов перестановок базируется на использовании различных решеток и таблиц. Примером такого алгоритма следует считать классический алгоритм перестановок Кардано. При этом используется решетка, приведенная на рис. 2.6. Кодирование выполняется пу-

Стем 4- кратного поворота системы и записи

П		букв в свободные шифроклетки.
П		Пример. Пусть имеется текст открытого со-
	О	общения: «спортлото это игра».
	О	Кодированное сообщение, полученное с по-
		Кодированное сообщение, полученное с по-
		мощью алгоритма Кордано, имеет вид «иот-

Рсплэг оортоарт».

Впрактических целях может использо-

Рис. 2.6	ваться более сложная решетка, имеющая в
	своем составе 25, 36 … клеток.

2.11. Композиционный шифр в блочной системе шифрования (DES)

Одним из методов, получивших широкое распространение в системах блочного кодирования информации, является метод сетей Фейстеля. Он основывается на использовании специального регистра сдвига с элементами меж-

разрядной логики, показанными на рис. 2.7.

Li-1			Li


Ri-1	f	+	Ri

Рис. 2.7

При сдвиге информации слева направо в схеме выполняются следующие преобразования:

Li Ri 1, (2.17)

Ri Li 1 fi ki,Ri 1 ,

где fi ki,Ri 1 – произвольная функция от двух аргументов: случайного ключа ki и значения предыдущего разряда регистра Ri.

Достоинством преобразований данного вида является возможность обратного преобразования (2.17), даже в случае если внутренняя функция fi ki,Ri 1

не является обратимой. Действительно из базового равенства следует, что

Ri 1 Li ,

Li 1 Ri fi ki,Ri 1 ,

то есть выходные символы ячейки Фейстеля могут быть поданы на свои же входы, а на выходах считаны начально-исходные значения. Данный факт сле-

дует из рассуждений. Пусть на		вход устройства поданы значения
Ri 1 a,	Li 1 b. Тогда на выходе схемы получим
	Li	a,
		(2.18)

Ri b fi ki,a .

Подавая на вход данного блока значения (2.18), на выходе получаем результат, представленный на рис. 2.8.

			b
L	b f	k ,a		Li-1			Li	Li a
				Li-1			Li

			a
i 1	i	i	a					Ri b 2fi ki,a b
Ri 1 a
Ri 1 a				Ri-1	f	+	Ri
				Ri-1	f	+	Ri

Рис. 2.8

При использовании нескольких ячеек данной схемы процедура декодирования будет заключаться в подаче на вход блока шифрованной последовательности при условии изменения порядка следования ключей на противоположный. Таким образом, шифр является симметричным. Следует учитывать также, что нечетное число преобразований в схеме предполагает перестановку входных переменных относительно выходных, а четное – прямую подачу символов.

Достоинство DES заключается в простоте системы, высокой скорости аппаратной и программной реализации, в достаточно высокой криптографической стойкости по отношению к другим методам.

Алгоритм DES, используя принцип перестановки аргументов и подстановки последовательности ключей, осуществляет шифрование 64-битных слов с помощью 31-битного ключа k. Процесс шифрования состоит в начальной перестановке бит входного 64-разрядного блока в соответствии со стандартными таблицами в требуемом числе циклов шифрования и конечной перестановке бит выходного слова.

L (32 бита)
L0
R0	f	+
		k1
R (32 бита)
Начальная перест.
D (64 бита)		Вх.


L1		L30			L31




R1		R30	f	+	R31
R1		R30	f	+	R31

				k31

	Вых.		Конечная перест.
	Вых.		Конечная перест.
			D (64 бита)

Рис. 2.9

К недостаткам алгоритма DES относится небольшое число ключей в стандартной схеме, что дает возможность их полного перебора с помощью компьютера за реальное время.

2.12. Векторно-матричный симметричный шифр замены

Известный из комбинаторной теории принцип включения и исключения для свойств дискретных объектов в известной общей форме позволяет в некотором множестве Nl0 (принципиально Nl0=n) векторов определить количество

Nl i(

u,h,

u,b,...,

xu,v) элементов, не

обладающих ни одним

из заданных i

свойств xu,h,xu,b,...,xu,v, по формуле

2i 1

Nl i(

u,h,

u,b,...,

u,v) Nl0 ( 1)sNs(xu,ul,l11,xu,ul,l22,...,xu,0u,0), (2.19)

j 1

j 20 u,h 21 u,b ... 2i 1 u,v, u, var:

h,b,...,v

s u,

, u, 0,1 ,

где

s –

число (0,1)-свойств, характеризующих

подмножество Ns ;

наборы

свойств

,...,x

, x

,...,x

, … x

...x

, ...

в подмножест-

u,h

u,v

u,h u,b

u,b u,v

u,h u,b

u,v

вах

определяются

на

множестве

исключаемых

элементов,

причем

,...,x

– это полный набор (или l-свойств) объектов множества

N0 . Об-

u,l

u,0

щий индекс u определяет принадлежность векторов форме записи (2.19). Очевидно, что, в случае, когда число объектов, обладающих s свойства-

ми, s 1,i, оказывается равным для каждого из значений s, т. е.

N1(xu,h) N1(xu,b) ... N1(xu,v),

N2(xu,h,xu,b) N2(xu,b,xu,v) ... N2(xu,h,xu,v), …

из соотношения (2.19) следует

						i
Nl i(	xu,h,	x	u,b,...,	xu,v) Nl0 ( 1)sCisNs .			(2.20)
						s 1
Разделим равенство (2.20) на величину Nl0 . Тогда отношение под-
множеств вида					Ns
				s	Ns
			ps Ci			,	(2.21)
			ps Ci		0	,	(2.21)
					Nl

может быть интерпретировано как вероятность встретить объект с набором s свойств во множестве символов Nl0 , а равенство (2.20) учетом (2.21) даст соотношение

pl i(xu,h,xu,b,...,xu,v) 1 ( 1)s ps.

s 1

Известно, что в теории вероятностей данное равенство называют теоремой Пуанкаре. При этом используют запись

	i 1
			(2.22)

pl i(xu,h,xu,b,...,xu,v) 1 p1(xu, )		.

В приведенных выше соотношениях предполагается, что

ps ps(xu,s 1,...,xu,0) p1(xu,s 1) ... p1(xu,1)p1(xu,0),

где s 1,2,...,l . То есть все вероятности p1 xu,l 1 , , p1 xu,0 независимы меж-

ду собой.

С другой стороны, из теории вероятностных машин известно, что соотношение, эквивалентное (2.22) порождается функциональным элементом ИЛИНЕ в процессе сложения i некоррелированных вероятностей. Данный факт следует из правила де Моргана:

i 1		i 1	i 1
					,
		p1(xu, ) not		p1(xu, )
	1 p1(xu, )
0		0	0

где знаки и означают произведение численных значений вероятностей и ло-

гическое произведение вероятностных последовательностей, знак – логическую сумму последовательностей или вероятностей бернуллиевских случайных событий.

Используя форму записи (2.22) для целочисленных объектов, можно записать равенство

N		(	x	,	x	,...,	x	)	i 1	N	0	N (x		)	,	(2.23)
	l i
			u,h		u,b		u,v				l	1	u,

где

Nl0 N1(xu, ) N1(xu, ).

Таким образом, раскрывая в соотношении (2.23) скобки и полагая, что все подмножества с s свойствами, имеют одинаковую мощность, от равенства (2.23) легко перейти к равенству (2.20), что подтверждает логику перехода от подмножеств к вероятностям.

Однако переход от подмножеств объектов (2.19) в область теории вероятностей (2.22) и обратно указывает на известную частность рассматриваемого классического принципа. Дело в том, что номенклатура реализуемых функций в вычислительной технике весьма велика, и, как следствие, велико количество алгоритмов, применяемых для синтеза вероятностей. Следовательно, преобразование подмножеств, получившее в литературе название принципа включения и исключения, очевидно, представляет собой только частное преобразование комбинаторной теории и требует дополнительных исследований с точки зрения прикладных вопросов.

Идентичность формы записи равенства Пуанкаре и полиномиального представления булевых функций позволяет предположить, что принцип включения и исключения для подмножеств, равно как и функции двоичной логики, может быть представлен несколькими тождественными формами или соотношениями. Данную гипотезу подтверждает и известная универсальность диаграмм Вена, интерпретирующих булево-алгебраические высказывания, вероятностные соотношения и операции преобразования множеств. Очевидная параллель между различными математическими категориями предполагает существование доказательств тождественности различных форм и для формул включения и исключения. В лучшем

же случае могут быть получены и доказаны соотношения, устанавливающие аналитическую взаимосвязь между различными формами данной методологии.

Для доказательства многовариантности представления рассматриваемого алгоритма запишем равенство, определяющее число векторов Nl0 как сумму подмножеств Nl i, образуемых из векторов свойств таблицы, аналогичной таблице истинности, умноженных на (0,1)-коэффициенты аz:

2l 1

Nl0 azNl i (

g,l 1 g,l 1)(

g,l 2

g,l 2)...(

g,0 g,0) , (2.24)

z 0

где g, , az 0,1 ,

z 2l 1 g,l 1 2l 2 g,l 2 ... 20 g,0 ,

g,l 1

g,l 2 ...

g,0 , а зна-

чения переменных

g, g,

, g, 0.

xg,

При этом g указывает на принадлежность векторов из подмножеств Nl i буле- во-алгебраической форме «включения и исключения», а az, как уже говорилось, конституенты таблицы истинности СДНФ, например табл. 2.6, где приведены только подмножества Nl i , соответствующие единичным значениям кон-

ституент и, в соответствии с формулой (2.24), дающие сумму, равную Nl0 68.

Таблица 2.6

g,3

g,1

g,0

l-i

g,2

g,3 0

g,2 0

g,1 0

g,0 0

N0=10

g,3

g,2

g,1

g,0

g,3 0

g,2 1

g,1 0

g,0 1

N2=7

g,3xg,2

g,1xg,0

g,3 1

g,2 0

g,1 0

g,0 0

N1=13

xg,3

g,2

g,1

g,0

g,3 1

g,2 0

g,1 1

g,0 0

a10

N2=4

xg,3

g,2xg,1

g,0

g,3 1

g,2 1

g,1 0

g,0 0

a12

N2=10

xg,3xg,2

g,1

g,0

g,3 1

g,2 1

g,1 0

g,0 1

a13

N3=7

xg,3xg,2

g,1xg,0

g,3 1

g,2 1

g,1 1

g,2 0

a14

N3=13

xg,3xg,2xg,1

g,0

g,3 1

g,2 1

g,1 1

g,0 1

a15

N4=4

xg,3xg,2xg,1xg,0

С другой стороны, используя правую часть соотношения (2.19) и полиномиальное представление булевых функций, можно записать равенство

2l 1
Nl0 c0N0	( 1)1 scjNs xu,ul,l11	,xu,ul,l22	,...,xu,1u,1	,xu,0u,0	.	(2.25)
j 1

Здесь j 2l 1 u,l 1 2l 2 u,l 2		... 21 u,1 20 u,0, а			l 1	u, 0,1 .
				s u, ,
В равенстве (2.25) коэффициенты cj					0
			представляют собой целочисленные
значения,	cj 0, 1, и определяют характер включения и исключения векторов
каждого из подмножеств Ns		в множество Nl0 , индекс u – указывает на принад-
лежность объектов в Ns полиномиальной форме,				N0	– элементы вида		x	0,	x1,...,	xl .
Учитывая, что закон		следования индексов			j в (2.25) соответствует
принципу	формирования	функций	счета,		наборы	коэффициентов

u,l 1 u,l 2,..., u,0 оказываются идентичны состояниям l-разрядного двоичного счетчика в моменты времени t j. Таким образом, число свойств xu, , характе-

ризующих каждое из подмножеств

Ns xu,ul,l1 1

,xu,ul,l22

,...,xu,0u,0

будет всегда равно сумме единиц в двоичном разложении числа j

и не превы-

сит величины

, а

1, например, при j 5:

l , т. е. x

u,l 1,x

u,l 2,...,x u,0 N

u,l 1

u,l 2

u,0

2 u,2

u,0

Очевидно, если в равенстве (2.25) все коэффициенты cj 1,

, то

0,2l 1

при 0 i l 1 из данного соотношения следует тождество, аналогичное (2.19):

i-1

2 -1

Nl0 -Nl-i

u,i-1,

xu,i-2,...,

u,0

-1 1 0

Ns xu,ul-,1l-1

,xu,ul-,l2-2

,...,xu,0u,0

j 1

j 2i 1 u,i 1 2i 2 u,i 2

... 21 u,1 20 u,0, .

u, 1,

i,i 1,...,r .

Если же в соотношении (2.25) коэффициенты cj будут представлять со-

бой произвольно взятый набор нулей и единиц, то принцип включения и исключения будет порождать новый закон формирования подмножеств векторов на базе общей формы алгоритма суммирования.

Определим зависимости, связывающие коэффициенты двух рассмотренных форм суммирования. С этой целью исследуем случай формирования подмножеств, когда набор коэффициентов cj априорно неизвестен, а на входы схемы суммиро-

вания, отождествляющей преобразования (2.25), коммутируются подмножества объектов в соответствии с естественным порядком следования индексов j . При этом на выходе схемы суммирования (без реализации функции запоминания, т. е. без регистра памяти)будем получать следующие частичные суммы:

Nl0 j 0 c0N0,

Nl0(j 1) c0N0 c1N1(xu,0),

Nl0( j 2) c0N0 c2N1(xu,1),

Nl0(j 3) c0N0 c1N1(xu,0) c2N1(xu,1) c3N2(xu,1,xu,0),

Nl0( j 4) c0N0 c4N1(xu,2),

Nl0(j 5) c0N0 c1N1(xu,0) c4N1(xu,2) c5N2(xu,2,xu,0),

В общем случае можно показать, что для произвольного значения j будет иметь место равенство

(2.26)

Nl0(j) c0N0 ( 1)s 1 Cqi ai mod2 Ns xu,ul,l11,xu,ul,l22

,...,xu,0u,0

q 1

i 1

l 1

где q u, 2 ,

1,M 1, M 2l.

j 2l

Очевидно,

что левая часть равенства (2.24) и соотношение (2.26)

при

1 будут численно совпадать и давать сумму

Nl0 . Следовательно,

для

правых частей (2.24) и (2.26) также будет выполняться равенство

2l 1

g,l 1 g,l 1

g,l 2 g,l 2 ...

g,0 g,0

(2.27)

azNl i

z 0

M 1

c0N0 1 s 1 Cqi

ai mod 2 Ns xu,ul,l1 1, xu,ul,l2 2

,...,xu,0u,0

q 1

i 1

Взаимосвязь коэффициентов cq и az в формуле (2.27) может быть дока-

зана следующим образом. Очевидно, что применительно к исследуемому принципу задача получения формы представления значений Nl0 в виде (2.25) из подмножеств (2.24) (или наоборот) может быть решена путем перегруппировки подмножеств в исходной функции в новые подмножества формируемого набора векторов. При этом для простоты будем считать, что мощность подмножеств в (2.25) для всех Nl i равна 1, что позволяет искомую перегруппировку свести к преобразованиям над коэффициентами, а соотношение (2.26) переписать в виде

F(a0,a1,...,aM 1) 1 s 1Czq cq

mod 2 .

(2.28)

q 1

Для функции F(a0 ,a1,...,aM -1) F(az) az

будет

справедлива следующая

теорема.

0,1 и

Теорема 2.1. Коэффициенты az

0, 1

связаны между собой

биномиальным преобразованием над GF(2):

a0 c0 , az 1 s 1Czq cq

mod

2 ,

z 1,M 1,

(2.29)

q 1

обратная взаимосвязь определяется взаимно-обратным равенством.

Доказательство (2.28) следует из (2.27) при Ns

и j

1,M 1. Для уста-

новления зависимости вида (2.29) нужны более длительные рассуждения.

Известно, что при булево-алгебраических преобразованиях двоичный

вектор

c ,c ,...,c

некоторого

положительно

поляризованного

много-

2l 1

члена

f(x)

над

GF(2)

может

быть

получен

из

конституент

СДНФ

A a0,a1,...,a l

с использованием векторно-матричного соотношения:

2 1

(2.30)

где Sl (0,1)– матрица вида

A ,

Sl 1 0

S0 1.

Sl 1Sl 1

Согласно правилу построения, для каждого элемента данной матрицы бу-

дет выполняться равенство

q, j ,

(2.31)

, j

где значения q,

j определяются соотношениями q 2l 1,

j 2l 1, , .

Для установления общей связи между элементами q,j в матрице Sl до-

кажем следующую теорему.

Теорема 2.2. (0,1)-матрица Sl

есть матрица биномиальных коэффициен-

тов Cj

над полем GF(2) при 0 q, j 2l

Доказательство. Введем обозначение для матрицы S0 в форме биномиального коэффициента S0 = C00 . Тогда при l 1 матрица Sl будет иметь следующий вид:

S1	C	0	0	.	(2.32)
S1		0	C00	.	(2.32)
	C00		C00
Из комбинаторики известно, что
Cqj 11 Cqj 1 Cqj.

Это соотношение позволяет выразить элементы q, j в правой части соот-

ношения (2.31) через элементы предыдущей строки матрицы Sl . Действительно, используя рекурсию для равенства (2.31), можно показать, что

Cqj Cj l 1	2l 1 1			l 1
Cqj Cj l 1		Ckl 1Cj kl 1		Cj 2l 1 .
q 2	k 1	2	q 2	q 2

В силу того что биномиальный коэффициент Ckl 1	четен для k 2l 1, при-
2

веденное соотношение будет соответствовать равенству
Cj	Cj		Cj 2l 1				mod 2 .		(2.33)
q	q 2l 1			q 2l 1
Обозначив в полученном соотношении величины q 2l 1								и j 2l 1,
из (2.33) имеем
		Cj		Cj	C		mod 2 .		(2.34)
			q
Отсюда следует, что q, j Cqj		mod 2			и,	таким образом, матрица			Sl есть

матрица, образованная из остатков по модулю два биномиальных коэффициентов Cqj . Теорема 2.2 доказана.

Однако методика формирования матриц Sl из подматриц Sl 1 дает возможность заключить, что Sl есть только определенная комбинация коэффици-

ентов Cj . Соответствие же вновь образованного массива упорядоченному на-
q
бору факториальных моментов должно быть установлено особо.
Теорема 2.3. Матрица Sl , формируемая из подматриц Sl 1, является упоря-
доченной матрицей биномиальных		коэффициентов C j					над GF 2 для всех
						q
0 q, j 2l 1.
Доказательство. Пусть l 1. Тогда для матрицы S1							будет справедливо ра-
венство
S1 =	C0	0	=	C0	0	.
	C0	0		C0	0
	0			0
	C00 C00			C10 C11

Используя вариант записи S1 с коэффициентами C00 (2.32) и правило форми-

рования матриц Sl из Sl 1, сформируем определители более высокого порядка. Для элементов этих определителей будут иметь место сравнения по модулю два (2.31) и (2.34). Следовательно, для доказательства теоремы необходимо показать механизм действия закона (2.34)на границах матриц Sl 1, составляющих матрицу Sl .

Очевидно, что из основного рекуррентного соотношения и равенства (2.33) следует

C jl 1

k 1

C jl 11

mod

2 ,

(2.35)

2 k 1

где 0 k 2l 1, 0 j 2l 1

1 k . В то же время сохраняется и привязка к верхней

половине Sl , например, вида

C j 1

Cj 1

C j 1 2l 1

Cj 1

mod 2 .

l 1

2 k

В результате, при

k q из (2.35) вытекает соответствие всех элементов

матрицы S

биномиальным коэффициентам

mod 2

при 0

j,q

Таким образом, нижняя половина матрицы Sl будет также представлять собой упорядоченный набор биномиальных коэффициентов, но теперь уже относительно верхней половины над полем GF 2 . Теорема 2.3 доказана.

Итак, для булевых форм представления функций в (2.30) имеем

				q
c0	a0,		cq Cqz az			mod	2 ,	(2.36)
				z 1
		q	1,2l 1,		cq 0,1 .

Обратное преобразование выполняется по формулам обращения:

	z
az Czq cq		mod 2
q 1
z		az 0,1 .
	1,2l 1,

В дискретной математике аналогичные соотношения порождает общий случай формальной зависимости для временной производной от значений булевых аргументов. Простейший вариант данного преобразования соответствует сумме некоторых переменных x t над GF(2):

x(t) x(t) x(t 1).

Сучетом же эквивалентности приведенного соотношения и формулы (2.34),

атакже учитывая эквивалентность закона формирования производных высших степеней и основного рекуррентного соотношения, можно показать, что

(q)	x(t)	q
		Cqj x(t j)	mod 2 .
t	q
		j 0

Данное равенство позволяет соотношения вида (2.35) рассматривать не как объекты булевой алгебры, а как объекты дискретной математики. Тогда с учетом знаков преобразования в теореме 2.1 можно представить равенствами

s 1

mod 2 ,

q 1,2

(2.37)

z 1

l 1

0,1 ,

u, 2

z С

1 s

1Czq cq

mod 2 ,

z 1,2l

q 1

l 1

q u, 2 ,

s u, , cq 0, 1 .

Здесь векторы C c1,c2

,...,c

и A a1,a2,...,a l

принадлежат равенству

2 1

(2.27), а знакопеременность cq строго устанавливается набором коэффициен-

тов az .

Таким образом, тождественность принципа включения и исключения и алгоритма суммирования подмножеств векторов с двоичными коэффициентами az можно считать доказанной. Как следствие формул (2.37), также доказана

возможность перехода от формы представления алгоритма (2.25) с cq 0, 1 к сумме векторов вида (2.24).

Пример. Для подмножеств, приведенных в табл. 2.6, в соответствии с формулой (2.37) получить набор коэффициентов cq для равенства (2.27).

Очевидно, что на основании (2.36) имеем c0 a0 1 mod 2 . Далее, для q 1, имеем

c 1 2	C1	a	a 0	0	mod 2 .

1	1	1	1

Остальные коэффициенты полиномиальной формы определяются следующими равенствами:

c	2	1 2	C1	a	1 2 C2	a	2		a	a	2	0		0	mod	2 ;
c		1 2	C1	a	1 2 C2	a			a	a		0		0	mod	2 ;
			2	1	2				1
c 1 2			C1	a	1 2 C2	a		1 3 C				3	a	0	mod	2 ;
3			3	1	3	2					3		3
c	4	1 2	C1	a	1 2 C2	a	2	1 3 C3					a 1 2 C4			a	4	0	mod 2 ;
	4		4	1	4		2					4	3		4		4
c		1 3	C5	a	1 mod 2 ;
5			5	5

c6 1 3 C65 a5 6a5 0 mod 2 ; c7 1 3 C75 a5 21a5 1 mod 2 ;

c 1 3 C5		a			1 2 C8	a	56a a			1	mod 2 ;
8	8		5		8	8		5	8
c	1 3 C5	a		1 2 C8		a	126a 9a 1 mod					2 ;
9	9		5		9	8		5		8
c	1 3 C5		a		1 2 C	8 a 1 3 C10				a	252a		45a a			0	mod	2 ;
10	10		5		10		8	10		10	5			8	10
c11 462a5 165a8 11a10						0 mod		2 ;
c12 792a5 495a8 66a10 a12 0								mod2 ;
c13 1287a5		1287a8 286a10 13a12 a13							0 mod2 ;
c14 2002a5		3003a8 1001a10					91a12	14a13 a14 0 mod						2 ;

c15 3003a5 6435a8 3003a10 455a12 105a13 15a14 a15 1 mod 2 .

Таким образом, C 1,0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,1,1, 0, 0, 0, 0, 0, 1 . Подстановка

данных значений в правую часть равенства (2.27) дает результат, совпадающий с суммой в табл. 2.6:

	Nl0 1 N0 ( 1) ( 1)N2 xu,2,xu,0 ( 1) N3 xu,2,xu,1,xu,0																															1 N1 xu,3
			( 1) N2 xu,3,xu,0												( 1) ( 1)N4 xu,3,xu,2,xu,1,xu,0																	10 (7 7 4) 4
			(13 4 10 7 13 4) (7 4) 4																							10 18 4 51 11 4 68.
	Выполним проверку правильности преобразования с помощью формул (2.37)
путем расчета коэффициентов az																				на основании теперьуже известного вектора:
								C c0 1, c5 1, c7 1, c8 c9 1, c15 1 .
Очевидно, что в соответствии с обратным равенством получим значения:
a0 c0 1 mod					2 ;
a 1 2 C1		c 0 mod								2 ;
1	1		1
a	1 2 C1	c 1 2						C	2	c			2			c		c			0		0		mod		2 ;
a	1 2 C1	c 1 2						C	2	c						c		c			0		0		mod		2 ;
2	2		1					2								1				2
a	1 2 C1	c 1 2 C2								c			2		1 3 C						3	c	0		mod		2 ;
3	3		1					3					2							3		3
a	1 2 C1	c 1 2						C	2	c			2		1 3 C3							c	1 2 C4				c		0		mod 2 ;
4	4		1					4					2								4	3				4	4
a	1 3 C5	c		1 4				1					mod					2 ;
5	5		5
a	1 3 C5	c		6c				0				mod							2 ;
6	6		5		5
a	1 3 C5 c 1 4 C7c										21c								c		0		mod			2 ;
7	7		5					7	7						5					7
a	1 3 C5	c		1 4				C	7	c				1 2 C8								c	56c 8c						c		1 mod 2 ;
8	8		5					8					7								8	8				5	7			8
a	1 3 C5	c		1 4				C7			c			1 2 C8								c	1 3 C9				c		0		mod 2 ;
9	9		5						9				7								9	8				9	9
a	1 3 C5		c		1 4 C7							c			1 2 C8 c										1 3 C9			c		1		mod 2 ;
10	10		5							10				7								10	8				10		9
a11 462c5 330c7 165c8 55c9																		0 mod						2 ;
a12 792c5		792c7 495c8 220c9																		1		mod			2 ;
a13 1287c5 1716c7 1287c8															715c9						1		mod			2 ;
a14 2002c5			3432c7			3003c8									2002c9							1		mod 2 ;
a15 3003c5			6435c7			6435c8									5005c9							c15				mod				2 .
	3003 5005 2002 0 mod2																(c15 1) 1
	3003 5005 2002 0 mod2																(c15 1) 1
	Итак,	полученный вектор A 1,0, 0, 0, 0,1, 0, 0,1, 0,1, 0,1,1,1,1 полностью
совпадает с заданными значениями из табл. 2.6.
	В процессе рассмотрения данного примера следует учитывать, что обра-
зование множеств N																										в правой части (2.27) из элементов
зование множеств N								x				u,l-1			,x				u,l-2		,...,x			u,0		в правой части (2.27) из элементов
							s				u,l-1						u,l-2						u,0

табл. 2.6 соответствует нахождению покрытия векторов вида (2.24) векторами сокращенной ДНФ булевой функции.

Таким образом, если в качестве открытого текста из табл. 2.6 выбраны значения 10, 0, 0, 0, 0, 7, 0, 0,13, 0, 4, 0,10, 7,13, 4 , то в результате шифрования

получается набор чисел 10, 0, 0, 0, 0, 18, 0, 4, 51,11, 0, 0, 0, 0, 0, 4 .

Недостаток метода состоит в обязательном совпадении первого символа сформированного открытого текста и соответствующего элемента в зашифрованном сообщении. Кроме того, обратное преобразование шифрованного текста является неоднозначным, что определяет преобразование подмножеств как сюрьективное. Эффективность метода проявляется в двоичной системе, где открытый текст соответствует элементам таблицы истинности, а шифрованное сообщение отождествляется с коэффициентами положительно поляризованного полинома по модулю два:

x c0 c1x1 c2x2 c3x1x2 c4x3 c5x1x3 ... c2l 1x1x2...xl.

Вэтом случае преобразование является инъективным.

2.13.Инъективное преобразование множества Х

вэлементы меньшего множества Y

Алфавит языка открытого сообщения представляет собой совокупность символов, с помощью которых записываются все текстовые модули, подлежащие шифрованию. Наиболее часто для кодирования символов компьютерных текстов используются 8-разрядные двоичные коды упакованного формата. Длина сообщения вэтом случае определяется формулой: n 8n, где n – число символов текста.

Однако исследования в области языковых множеств показали, что относительные частоты появления различных букв в различных языках при n не подчиняются равномерному закону распределения. Более того, частоты появления таких букв, как «о» и «щ», существенно разнятся и составляют величины 0,09 и 0,003 соответственно (то есть в 30 раз). Данный факт указывает на возможность применения системы кодирования чисел, основывающейся на неравномерной длине кодов для символов, имеющих разную частоту появления.

Сущность неравномерного кодирования заключается в следующем. На первом этапе выбирается группа символов-разделителей букв, указывающих на начало каждой буквы. Например, пара цифр 01 может служить элементами разделения символов сообщения. На втором этапе формируются кодовые наборы различной длины, не содержащие кодов выбранных разделяющих пар. С этой целью удобно использовать счетчик Джексона, формирующий первую часть всех состояний схемы (например, табл. 2.7).

На третьем этапе составляется сводная таблица частот символов языка и каждому символу назначается свой код, длина которого увеличивается с уменьшением частоты регистрации. В нашем примере для разделителей букв вида 01 набор кодов для русского алфавита может быть представлен табл. 2.8.

Таблица 2.7

l	0000	1110	l	00000	11110
4	1000	1111	5	10000	11111
4	1100		5	11000	11100

Таблица 2.8

о	e	a	и	н	т	с
1	0	10	11	00	100	110
р	в	л	к	м	д	п
111	000	0000	1000	1100	1110	1111
у	я	ы	з	ь	ъ	г
11111	11110	11100	11000	10000	00000	000000
ч	б	х	ж	ш	ю	э
100000	110000	111000	111100	111110	111111	1000000
ф	щ	ц
1111111	1111110	1111100

В реальных системах большие информационные массивы могут иметь свои частоты регистрации символов. Следовательно, целесообразным представляется измерение статистических характеристик в каждом тексте открытого сообщения, после чего буквы кодируются в соответствии с табл. 2.8.

Пример. «Основа государства это самоорганизация и развитие» – текст, состоящий из 44 букв, который при кодировании байтами имеет длину 352 бита. Использование кодов из табл. 2.8 неравномерной длины приводит к образованию последовательности, состоящей, с учетом разделителей, из 216 бит.

011 01110 0100 011 01000 0110 01000000 011 01110 0111111 011110 0110	(57)
01111 01110 01100 01000 0110 011000000 01100 011 01110 0110 011100	(56)
011 011 01111 01000000 0110 0100 0111 0111000 0110 011111100 0111 01	(57)
11110 0111 01111 0110 0111000 01000 0111 01100 0111 010	(46)

Это на 38,63 % меньше, чем начально-исходный массив. В целом, процесс кодирования на этом шаге может быть закончен. Однако, зная, что число букв русского языка составляет 32 символа, полученный текст может быть разбит на «пятерки» бит (табл. 2.9), а алгоритм кодирования в соответствии с таблицей неравномерных кодов выполнен еще раз (неполная «пятерка» доопределяется нулевыми символами). Заметим, однако, что практические испытания метода показали, что повторное применение алгоритма зачастую не дает положительного результата и даже приводит к увеличению длины сообщения. Данный факт следует из необходимости хранения при каждом преобразовании таблиц кодирования данных и другой служебной информации.

01101 11001 00011 01000 01100 10000 00011 01110 01111 11011 11001 10011

13 25 3 8 12 16 3 14 15 27 25 19

11011 10011 00010 00011 00110 00000 01100 01101 11001 10011 10001 10110

27 19 2 3 6 0 12 13 25 19 17 22

11110 10000 00011 00100 01110 11100 00110 01111 11000 11101 11110 01110

30	16	3	4	14	28	6	15	24	29	30	14
11110 11001 11000 01000 01110 11000 11101 0(0000)
30	25	24	8	14	24	29	0
									Таблица 2.9

		а	б		в	г	д	е		ж
		1	2		3	4	5	6		7
		з	и		к	л	м	н		о
		8	9		10	11	12	13		14
		п	р		с	т	у	ф		х
		15	16		17	18	19	20		21
		ц	ч		ш	щ	ы	ь		ъ
		22	23		24	25	26	27		28
		э	ю		я		*
		29	30		31		0

Символ 00000 отождествляется, например, как * и перекодированию не подлежит.

Полученный шифротекст имеет следующий вид и размер:

«нщвзмрвопьщу ьубве*мнщусц юрвгоъепшэюо ющшзошэ*» 44×5=220. Повторное применение алгоритма шифрования в данном случае оказывается неэффективным, поэтому полученный набор символов считаем оконча-

тельным вариантом шифрованного сообщения.

Аналитический подход к предложенному методу кодирования, а именно определение средней длины кода по формуле

lpˆili 4,233 бита,

где pˆi – частоты символов языка, li – длины кодов из табл. 2.8, указывает на

среднестатистическую эффективность (53 %) предложенного алгоритма. Замечание. Символы, повторяющиеся подряд много раз, например пробелы, шифруются однократно своим кодом с простановкой рядом числа-определи- теля повторов кода.

3. ПРИКЛАДНЫЕ АЛГОРИТМЫ ПОИСКА ДЕТЕРМИНИЗМА

ИШИФРОВАНИЯ В КАНАЛАХ СВЯЗИ

3.1.Включение аргументов времени в АКФ (ВКФ) с помощью набора (0,1)-коэффициентов

Практика применения статистических методологий в системах наблюдения случайных процессов в существенной мере ограничивается отсутствием законченных теоретических исследований, определяющих целесообразность применения оценок АКФ, сформированных тем или иным способом. В частности, до настоящего времени нет строгого математического обоснования для оптимальной размерности данных выборочных функций, а также не исследованы свойства и границы вероятностных аргументов, в рамках которых АКФ имеет преимущества перед другими методами формирования свертки.

Для наблюдения детерминизма в последовательностях со случайной природой воспользуемся классической формулой, определяющей взаимное влияние двух процессов X и Y в соответствии с соотношением

Kˆ

X ,Y

n 1

cov

x,y

t 0

где x t , y t – элементарные события, наблюдаемые в моменты времени t и

t+ , x Mx и y My при n .

Если в качестве отсчетов процесса X выбирать наборы элементарных событий длиной i :

t 0

,...,x

0,1,2,3,...,

t 1

t i 1

а в качестве отсчётов процесса Y наборы событий длиной

j, также принадле-

жащие процессу X:

x t 0 ,x t 1 ,..., x t j 1 ,

то можно записать соотношение, характеризующее автокорреляционную связь двух подмножеств аргументов мощностью i и j вида

i 1	i 1	j 1	j 1
Kx M	x t Mx		x t Mx	, (3.1)
	0		0
0	0	0	0

где , 0,1 постоянные коэффициенты, определяющие закон включения

или исключения аргументов в АКФ (предполагается, что аргументы не зависят друг от друга) при n или в выборочную АКФ, если имеет место реальный эксперимент.

Перемножим аргументы в функции (3.1) и получим соотношение, приводящее к требуемой форме включения аргументов в функцию

i 1			j 1				i 1		j 1
Kx M x t x t Mx								x t (3.2)
			0			0			0
0			0			0			0
M	i 1	j 1	x t M	2	i 1		i 1
M	x		x t M	2					.
	x			x
	0	0			0		0
	0	0			0		0

В соотношении (3.2) выполним замену индексов вида i i0, j i1, , z, при этом будем считать, что индекс индекса соответствует номеру слова в функции автокорреляции (3.2). Соответственно, коэффициент z,k будет принадле-

жать z-й позиции k -го слова. Тогда для двух слов k 0,1 имеем равенство

			i 1	1	i	1
		0	0	1	1	1
Kx M		0	z,0x	0 t z z,1x 1			t 1 z
Kx M	Mx		z,0x	0 t z z,1x 1			t 1 z
			z 0		z 0		(3.3)
							(3.3)
	i0 1			i1 1
Mx 1 z,0x 0 1 t z z,1x 1 0 t 1 z
	z 0			z 0

i0 1	i1 1	i0 1	i1 1
Mx 1 z,0x 0 0 t z z,1x 1 1 t 1 z Mx 2 z,0x 0 0 t z
z 0	z 0	z 0	z 0

z,1x 1 0 t 1 z .

Из (3.3) следует

ik 1

Kx M

z,kx

k t k z

(3.4)

k 0

g 0

k 0

z 0

где k – (0,1)-коэффициенты, входящие в состав двоичного разложения числа

g; в нашем случае g =	21 +	20 ;		z,k	– также (0,1)-коэффициенты, приме-
1	0			z,k

няемые для включения аргументов в z-й момент времени в k -е слово АКФ, зна-

чение k 0 при

k 0.

Очевидно, что обобщение равенств (3.1)–(3.4) на

w подмножеств аргу-

ментов приведет к зависимости вида

w 1

i 1

2 1

(3.5)

Kx w M

z,kx

k z

k 0

g 0

k 0

z 0

где g w 12w 1 w 22w 2 ... 020.

Правомерность соотношения (3.5) может быть достаточно просто доказана по индукции. Так, умножая правую часть (3.5) на сумму вида

iw 1		1	iw 1			0
Mx 0 z,wx	w		t w z Mx 1	z,wx	w	t w z ,
z 0				z 0

что соответствует w+1 слову в АКФ, нетрудно получить выражение

x t X

w 1

Kx w 1 M

w 1

k 0

z,kx k t

k z

g 0

k 0

z 0

i 1

2w 1

w 1

i 1

w 1

z,wx w

t w z

k 0

z,kx k t k z

z 0

g 0

k 0

z 0

z,wx w

t w z

z 0

w 1

k 0

z,kx k t k z

g 2w

k 0

z 0

2w 1

i 1

k 0

z,kx k t k z

g 0

k 0

z 0

или

w 1

i 1

Kx w 1

w 1

t k z

(3.6)

k 0

z,kx

g 0

k 0

z 0

где g w 2w w 1 2w 1 ... 0 20.

Так как равенство (3.5) и полученное соотношение эквивалентны, то доказательство по индукции можно считать достоверным.

Рассмотрим вычислительный аспект исследуемой методологии применительно к вопросам хеширования случайной выборки. Очевидно, что, с точки зрения скоростных свойств расчетных алгоритмов (при наблюдении событий посредством компьютера), равенство (3.5) удобно представить с учетом только двух слов, что минимизирует число перестановок аргументов:

	i 1 j 1			(3.7)
Kx M		x t x t	.	(3.7)
Kx M		x t x t
	0 0

Данное соотношение позволяет избежать ряда вычислительных процедур, связанных с классическим центрированием событий, что существенно повышает производительность процессора (и других аппаратных средств) при регистрации случайных событий.

Теоретически, равенство (3.7) позволяет определить оптимальные значения i и j, если предположить, что для элементарных событий при

n выполняется равномерный закон распределения. При решении данной задачи будем использовать соотношение для математического ожидания удель-

ного веса слова в выборке длиной n вида Mx ni 12 2l 1 . С учетом приведенно-

го значения на базе формулы (3.7) можно сформировать равенство

	i j		i 1 j 1
Kx	i j	(2l 1)2		.	(3.8)
Kx	4n2	(2l 1)2		.	(3.8)
	4n2
		0 0

Очевидно, что из (3.8) легко определяется минимальное значение функции, которое достигается, если только для одной пары значений и выполняется равенство 1.

Схема, поясняющая принцип формирования ВКФ-кодов, представлена на рис. 3.1.

0		2			5	6			= 1
0	0	2			5	6			= 1

1		1	0	1	1		0		1	0	1	1	1	0	1	0	0	1	1	0


1	0	1	0	1	1				1	0		1	1		1	0		1	1	0
1	0	1	0	1	1			0	1	0	1	1	1	0	1	0	0	1	1	0

								0			3			6			9	= 1
								0			3			6			9	= 1

Рис. 3.1

Здесь при k 0 значения 0 2 5 6 1, 1 3 4 0, при k 1 коэффициенты второго слова равны 0 3 6 9 1, 1 2 4 5 7 8 0.

Пример. Пусть требуется вычислить значение функции автокорреляции у последовательности вида

№	0	2	4	6	8	10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

	7	6 5 4 7 6 3 2 1 0 7 4					4 3 2 6 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 0 6
			1	11

Рис. 3.2

В целях формирования статистики для данной выборки будем использовать алгоритм, следующий из соотношения (3.5) при наборе параметров вида

w=2, 0 0, 1 11, i 5, j 6 с коэффициентами z,k , представленными следующими наборами:

z,0 :	0,0 1,0 2,0 3,0 4,0					,	z,1:	0,1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1						.


	1	1	0	1	1			1	1	1	0	1	0

Определим численное значение выборочного параметра с учетом длины выборки n 29 по формуле

	1	28		4	4				5
Kx					z,0x t z	x	z,0

29		t 0					z 0
			z 0					z 0

5 z,1x t 11 z x

z 0

z,1 .

Для данного примера среднее значение x 3,69. Соответственно, величина эмпирической ковариации при этом будет равна

	1	28		4		5		= 44.
Kx 11					z,0x t z 14,76		z,1x t 11 z 14,76
	29
		t 0
			z 0		z 0

В общем случае рассмотренные механизмы формирования ВКФ (АКФ) имеют целью развитие методов наблюдения последовательностей в рамках статистического анализа наборов чисел. Получаемые в результате применения алгоритмов расшифрования данные проверяются на возможную принадлежность слов в предложениях определенному языку с учетом известных, наиболее часто используемых конструкций.

3.2.Включение элементарных событий в АКФ (ВКФ)

спомощью набора (0,1)-коэффициентов

Сточки зрения приложений теории корреляции, в частности при наблюдении последовательностей, формируемых на базе регистра сдвига, при передаче данных по w независимым каналам и т. д. существенный интерес вызывает задача исследования автокорреляционной зависимости, возникающей между

элементарными событиями x t ,x t ,...,x t , циркулирующими в

системах связи между абонентами. При этом наличие любого преобразования между элементарными событиями каналов отождествляется с функцией ковариации (корреляции) между переменными вида

x t f x t , x t f x t ,...,x t f x t ... .

Аналогичная методология анализа может быть также использована и при поиске семантически взаимосвязанных объектов, например в информационносправочных системах. В данном случае необходимо решать задачу соответствия w подмножеств заданных аргументов и словосочетаний в хранимой информации. При этом в результате поиска может быть составлен каталог или список первоисточников содержащих объекты, принадлежащие морфологической категории.

В общем случае при программировании формулы, устанавливающей степень зависимости между подмножествами аргументов, рассмотренное выше соотношение (3.5) для функции автокорреляции между w элементарными событиями следует привести к виду

		i 1			i 1
Kx w M	w 1	k			k	,kMx		,	(3.9)
Kx w M				x ,kxz t k x		,kMx		,	(3.9)
	k 0		z 0	z	z 0	z	z

здесь ik – длина k -го слова;	xz,k	0,1 – коэффициенты включения аргументов
	xz,k
xz в k -е слово функции, значение k				0	при k 0, n .

Mx w 1

k 0 z 0

w 1 ik 1

Очевидно, что равенство (3.9) представляет собой произведение подмножеств событий xz , реализуемое следующей скобочной формой:

1 n 1

i 1

Kx w lim

,0xz t 0 x

,0Mx

n n t 0 z 0

z 0

i 1

w 1

,1xz t 1 x

,1Mx

...

,w 1xz t w 1

z 0

xz,w 1Mxz .

Раскроем в приведенном произведении скобки и сгруппируем члены в соот-

ветствии с законом включения и исключения переменных xz k t k в функцию

ковариации. Иными словами, будем учитывать закон изменения двоичных коэффициентов k в разложении некоторой переменной g при естественном порядке

следования номеров индексов g w 12w 1 w 22w 2 ... 020. В результате для автокорреляцииwподмножеств аргументов можно записать соотношение

w 1

i 1

n 1

Kx w lim

Mx w k 0

,k xzk t k ,

(3.10)

n n

k 0

t 0

g 0

z 0

где M

принято равным среднему по всем

при n .

Достоверность соотношения (3.10), как и в случае автокорреляции между аргументами времени, следует из рассуждений.

Умножим правую часть полученного равенства на разность

iw 1		iw 1	,w , t 0,1,...,n 1,
x	z	,wxz t w Mx x	,w , t 0,1,...,n 1,
z 0	z	z 0	z

тогда можно записать соотношение

w 1

1 n 1 2

lim

k 0

n n t 0

g 0

xz,kxzk t k

iw 1

t w

Mx w 0 x

,wxzw

n 1 2w 1

z 0

w 1

i 1

w 1

lim

k 0

,kxzk t k

,wxzw

t w .

n n

t 0

g 0

k 0 z 0

z 0 z

Отсюда следует

		1 n 1		2	w 1	1
		1 n 1		2		1
Kx w 1	lim
Kx w 1	lim
	n n		t 0		g 0
			t 0		g 0

где g w2w w 12w 1 ... 020.

			i 1
w		w	k			,	(3.11)
		x			,kxzk t k
k 0	k	x		z	,kxzk t k
		k 0	z 0	z

Правые части в формулах (3.10) и (3.11) эквивалентны. Следовательно, соотношение (3.10) можно считать доказанным.

Очевидно, что равенство (3.10), хотя и является достаточно общим, не учитывает ряда составляющих, включение которых в формулу диктуется сущностью АКФ, зависящей от аргументов времени. Так, например, если функция имеет параметр w const, то использование указанного соотношения позволяет определить степень связности некоторого набора переменных

	t		,		t		,
x	t		,	x	t		,	x	t

при длине выборки, равной n. Однако (3.11) не учитывает других перестановок аргументов, например таких как

x t x t x t ,

x t x t x t ….

Данный факт, естественно, влечет за собой неверное представление о сложившейся системе связей с точки зрения чисто временных аргументов и, как следствие, неверное значение статистической АКФ (подразд. 3.1). Таким образом, обобщая формулу (3.9) с учетом формы записи, использованной в равенстве (3.10), можно записать соотношение вида

		w				1
	1 n 1 h 1	2		1	w	w

Kx h lim			Mx			k 0	k

n n t 0 0		g 0

w 1ik 1

k 0 z 0

	x k t
x	x k t	k	.	(3.12)
x	,k z	k
	z

В данном выражении h – число различных предложений, а w – число наборов переменных в предложении с номером (или ранг произведения).

Используя в качестве отправного пункта алгоритм формирования оценок по формуле (3.12), факт оптимальности вероятности пропуска ошибки АКФ с аргументами времени при 1 (см. равенства выше) без учета центрирующих констант Mx и, наконец, определив h 1, что также минимизирует значение функции, из зависимости (3.12) можно получить выражение

	1	n 1	w 1
Kx w lim		xz t k ,		0 z ik 1,	k,	(3.13)

n n		t 0	k 0

где только одно xz,k 1 в k-м слове для всех k 0,w 1.

Приведенное соотношение дает минимальное значение автокорреляционной функции, что, при конечной длине выборки n, будет определять и минимум числа перестановок элементарных событий, дающих соответствующий класс эквивалентностей. Данный факт приводит к минимальному изоморфизму в случае формирования хеш-функции и, следовательно, к минимуму вероятности пропуска ошибки при формировании экспериментальных сверточных кодов.

Из равенства (3.13) следует

	w 1
Kx w p xz t w 1 xz t w 2 xz t 0 xz t k
	k 0	(3.14)
w 1	w 1	(3.14)
w 1	w 1
p xz t k xz t k ,
	k 0
k 0

где события xz t k 0 могут быть равны между собой при различных зна-

чениях

p x

w 1

w 2

– вероятность совместного

наступления w событий.

Рассмотрим алгоритм идентификации случайной выборки с помощью функции автокорреляции применительно к рассмотренному выше примеру.

Пусть длина последовательности,каки впредыдущем случае, равна n 29.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

7 6 5 4 7 6 3 2 1 0 7 4 4 3 2 6 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 0 6

1 11

Рис. 3.3

Значения w 2, 0 0, 1 11, а наборы коэффициентов xz,k численно равны

			x	,0 x	,0 x	,0 x	,0 x ,0	x	,1 x	,1 x	,1 x	,1 x	,1 x ,1
		:	0	1	2	3	4	x ,1: 0	1	2	3	4	5
	xz,0	:	1 0 1			1	1	x ,1: 0	1 1 1 0 1 0
	xz,0		1 0 1			1	1	z	1 1 1 0 1 0
	xz :		7 -		6	3	2	xz : 4 4 3 - 5 -
В данной постановке задачи предполагается, что коэффициенты x															,k 0,
														z

если в очередном такте испытаний значения xz в z -м разряде k -го слова оказывается отличным от значения, определенного условиями эксперимента.

Воспользуемся соотношением (3.9) и определим эмпирическую АКФ с учетом конечной длины выборки и w 2:

Kˆx w

. (3.15)

,0xz t x

,1xz t 11 x

t 0

z 0

Для рассматриваемого примера средние значения xz могут быть представлены набором вида


	xz	0	1 2			3 4	5 6 7
xz		0	3 8			12 16	10 30 28
				x	=13,375 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.09.201459.39 Кб8Билеты к ГОСам Дневное отделение 2014.doc
#
15.09.201452.39 Кб8задание по авмис на 9сем.docx
#
15.09.20142.68 Mб24Задания и примеры от Клевакина. Часть 1..pdf
#
15.09.201438.4 Кб3Задания по ЗИвВС.doc
#
15.09.201425.6 Кб3Заявление на тему диплома.doc
#
15.09.20141.05 Mб34ЗИвВС метода Кобяка.pdf
#
15.09.2014510.87 Кб18ОБРАЗЕЦ ЧАСТИ КУРСОВОГО.docx
#
15.09.20145.74 Кб6ТЗ для Контрольной 8 семестр (Петровский).docx
#
15.09.2014510.87 Кб13Файл с оформлением курсача (если у кого нет).docx

0		2			5	6			= 1
0	0	2			5	6			= 1

1		1	0	1	1		0		1	0	1	1	1	0	1	0	0	1	1	0


1	0	1	0	1	1				1	0		1	1		1	0		1	1	0
1	0	1	0	1	1			0	1	0	1	1	1	0	1	0	0	1	1	0

								0			3			6			9	= 1
								0			3			6			9	= 1

0		2			5	6			= 1
0	0	2			5	6			= 1

1		1	0	1	1		0		1	0	1	1	1	0	1	0	0	1	1	0


1	0	1	0	1	1				1	0		1	1		1	0		1	1	0
1	0	1	0	1	1			0	1	0	1	1	1	0	1	0	0	1	1	0

								0			3			6			9	= 1
								0			3			6			9	= 1

0		2			5	6			= 1
0	0	2			5	6			= 1

1		1	0	1	1		0		1	0	1	1	1	0	1	0	0	1	1	0


1	0	1	0	1	1				1	0		1	1		1	0		1	1	0
1	0	1	0	1	1			0	1	0	1	1	1	0	1	0	0	1	1	0

								0			3			6			9	= 1
								0			3			6			9	= 1