1.5.Методы регулирования вероятностей. Логические элементы

иих свойства как регуляторов вероятности

Вбольшинстве случаев методы синтеза последовательностей со случайной природой предполагают формирование элементарных событий с равномерным законом распределения. Однако даже эталонные генераторы для различных длин выборки n не обеспечивают требуемых свойств, что не позволяет в общем случае сформировать последовательности с произвольно заданной вероятностью событий. В связи с этим будем рассматривать принципы преобразования вероятностных последовательностей с помощью логических элементов с целью определения формальных подходов к задаче управления вероятностью и декорреляции последовательностей.

1.5.1.Функция инверсии

Инверсия z x функционально сводится к замене событий x дополнительными событиями x , математическое ожидание которых определяется равенством

где t, 1,2,3,... – дискретное время. Тогда, учитывая, что Mx Mz 0,5, имеем

Kz M z t z t z t Mz z t Mz Mz2

M z t z t 0,5 z t z t 0,25 .

Рассмотрим составляющую в функции Kz , равную 0,5 z t z t :

M 0,5 z t z t 0,5 0,5 0,5 0,5.

Тогда

Kz M z t z t 0,5 M 0,25 M z t z t 0,25.

Матожидание и вероятность двоичных переменных численно равны. По-

этому

Kz p z t z t 0,25 p x t x t 0,25

15

p x t x t Mx Mx MxMx Kx 0,75 Kx .

Отсюда на основании (1.9) следует

Kx 1 0,75 Kx 0,25 Kx .

Таким образом, при инвертировании последовательности происходит вычитание вероятности двоичной переменной из единицы, а корреляционная функция не изменяется:

Запишем АКФ Kz в стандартной форме:

Kz M x t Mx y t My M x t y t Mxy t Myx t MxMy

M x t y t M Mxy t M Myx t MxMy.

Вданном соотношении:

M Mxy t MxM y t MxMy.

Следовательно:

Kz M x t y t MxMy MxMy MxMy M x t y t MxMy.

Пусть Mx My 0,5, тогда

16

Значение

M x t y t p x t y t p x t p y t Kx,y M x t M y t Kx,y .

Тогда из (1.10) следует

Kz 0,25 Kx,y 0,25 Kx,y .

Таким образом,

Mz MxMy Kz ,

Kz Kx,y .

Иными словами, схема конъюнкции не обладает декоррелирующими свойствами, а лишь преобразует ВКФ последовательностей x t и y t в АКФ

выходной последовательности z t .

Для вычисления значения Kz выполним преобразование функции дизъюнкции в конъюнкцию, используя правило де Моргана:

z t x t y t x t y t .

Учитывая формулу (1.10) и тот факт, что процесс инвертирования не изменяет значения АКФ, запишем равенство

Kz M x t y t 0,25 M x t y t 0,25 1 Mx 1 My Kx,y 0,25.

Kx,y Kx,y .

Kz 1 Mx My MxMy Kx,y 0,25 MxMy Kx,y 0,25 Kx,y .

Итак, операция дизъюнкции также не изменяет уровня корреляции, а преобразует функцию ВКФxy в АКФz выходной последовательности логического

элемента:

Mz Mx M y MxM y Kz ,

Kz Kx,y .

17

дание выходной последовательности при этом будет определяться следующей зависимостью:

Mz MxMy Kx,y MxMy Kx,y

MxMy Kx,y MxMy Kx,y Ka,b .

Учитывая, что Mx 1 Mx , имеем

Mz Mx 1 My Kx,y 1 Mx My Kx,y

(1.13)

Mx 1 My Kx,y 1 Mx My Kx,y Ka,b

18

Mx My 2MxMy 2Kx,y

1 Mx 1 My MxMy Mx 1 My 1 Mx My Kx,y Kx2,y Ka,b .

Рассмотрим значение АКФ Kab с учетом стандартной формы:

Подставим в равенство (1.15) значения из соотношения (1.12), тогда получаем

Таким образом, при суммировании по модулю два функция ВКФ Kx,y

преобразуется в АКФ Kz и

Докажем выравнивающие свойства сумматора по модулю два для вероятности выходных событий элемента. Пусть Mx 0,5 и My 0,5 , тогда на

основании (1.17)

Mz 0,5 0,5 2 0,5 0,5 2Kz .

Для простоты определим значение Kz 0. При этом

Mz 1 2 0,25 0,5 0,5 1 0,5 20,5 2 .

Значения и лежат в пределах 0 , 1, поэтому произведение

19