5. Оптимизация Теоретические вопросы.

Общий подход к задачам: формализация (приоритет общего по отношению к частному), алгоритм (стандартность), реализация алгоритма. Вариантность.

Первый этап – решающий.

Для современного подхода к оптимизации характерна формализация задачи. Задача формулируется стандартным образом, после чего дальнейшее ее решение проводится на основе четкого однозначного рецепта – алгоритма. Однозначность в данном случае не означает, что отсутствуют варианты решений. Наоборот, проводится сравнение многих различных вариантов. Но алгоритм точно определяет, на каком этапе и как производится такое сравнение.

Формализация, во-первых, позволяет единообразно решать задачи из самых различных областей. Во-вторых, формализованные задачи приспособлены для решения на компьютерах. Применение вычислительной техники обеспечивает возможность перебора очень большого числа вариантов и выбора из них наилучшего. Поэтому формализация резко повышает эффективность процедуры решения задачи.

При формализации задачи оптимизации возникает важное противоречие. Задача распадается на три основных этапа:

1) формулирование задачи, приведение ее к одной из стандартных форм;

2) нахождение оптимальных условий на основе алгоритма оптимизации;

3) реализация оптимальных условий на практике. Методы решения на первом и втором этапах взаимно противоположны: второй этап, как правило, целиком формализован на основе алгоритма решения, а первый этап – неформален. Здесь не поможет никакая математика. Первый этап решения задачи связывает конкретные особенности объекта с общим методом решения. Если задача оптимизации плохо сформулирована, то совершенно правильное ее решение даст результат, абсурдный для практики. Иногда именно хорошая формулировка задачи определяет успех оптимизации в целом. Некоторые проблемы, возникающие при формулировании задач оптимизации, проиллюстрируем на примерах.

Таким образом, на этапе формулирования задачи приходится учитывать физико-химические особенности процесса, его экономичность, общее развитие промышленности, рыночную конъюнктуру и множество других обстоятельств.

Как правило, формулировка задачи оптимизации включает выбор критерия оптимальности, установление ограничений, выбор оптимизирующих факторов и запись целевой функции.

Критерий, множество критериев, выбор главного, корректность выбора.

Универсальный подход ко многим задачам, которые можно решать иначе. Родство к подбору критерия. Формулировка задачи. Выбор критерия оптимальности.

Требования:

единственность (экономика, технология, экология…);

численность (баллы для качественных задач);

монотонная зависимость от факторов как основное средство против множественности решений.

Критерий оптимальности – это главный признак, по которому судят о том, насколько хорошо функционирует система, работает данный процесс, насколько хорошо решена задача оптимизации. О работе судят по ее результатам.

Поэтому критерий оптимальности является одним из результатов работы, одним из выходов системы. Чтобы выбранный критерий оптимальности можно было эффективно использовать на следующем этапе, он должен удовлетворять трем основным требованиям.

1. Критерий оптимальности должен быть единственным. Это самое тяжелое требование. Дело в том, что, как правило, нас интересует ряд выходов системы и мы хотим, чтобы по всем им система была наилучшей. Иногда говорят так: оптимальным является такое ведение технологического процесса, при котором производительность установки и качество продукта максимальны, а затраты и потери минимальны. При внешней привлекательности такая постановка задачи утопична и потому объективно вредна. Так вести процесс невозможно.

Обычно наиболее обоснованы такие экономические критерии, как прибыль, норма прибыли, рентабельность, приведённый доход, себестоимость. Однако чаще всего характер зависимости этих критериев от входных параметров системы сложен. Для упрощения задачи зачастую пользуются технологическими критериями, например производительностью, чистотой продукта, выходом продукта, селективностью. Каждый технологический критерий в конечном счете связан с экономикой: чем больше производительность, тем выше будет прибыль; чем выше чистота, тем меньше будут затраты на следующих стадиях, и т. д. При оптимизации производства в целом или его крупных подразделений естественно использовать экономические критерии. Технологические критерии удобны при оптимизации более мелких объектов: отдельного узла, аппарата, небольшой цепочки аппаратов, т. е. при локальной оптимизации. При их применении следует особенно тщательно учитывать особенности процесса: критерий, пригодный в одних условиях, может быть совершенно не применим в других условиях.

2. Критерий оптимальности должен выражаться числом. В противном случае сопоставление разных вариантов становится крайне затруднительным.

3. Обязательное и крайне важное свойство критерия оптимальности: его величина должна изменяться монотонно при улучшении качества функционирования системы. Это значит, что оценивать объект можно по принципу: «чем больше критерий, тем лучше», либо «чем меньше критерий, тем лучше», но ни в коем случае не по принципу: «вот это значение критерия оптимально и отклоняться от него не следует». Что требуется, «больше» или «меньше», определяется физическим или экономическим смыслом критерия. Хорошо, когда прибыль велика, но когда себестоимость мала; когда велика производительность, но малы потери. Умножив любой критерий на –1, мы превратим «больше» в «меньше» и наоборот. Но вот критерий, обладающий некоторым оптимальным значением, от которого нежелательно отклоняться, не годится. Например, в лекарственной смеси содержание того или иного ингредиента не может являться критерием оптимальности: иначе мы бы получили не смесь заданного состава, а максимальную концентрацию одного вещества.

Если для какого-то параметра, характеризующего систему, существует оптимальное значение, то либо этот параметр – не критерий оптимальности, а оптимизирующий фактор (см. ниже), либо критерием является не величина параметра, а отклонение этой величины от заданного значения.

Ограничения – категорические условия (дополнительные критерии, предельные возможности по количеству, качеству, технологии, экономике, конъюнктуре, охране труда и среды обитания…). По форме это равенства и неравенства.

Ограничения - Условия, которые необходимо соблюдать независимо от того, как их соблюдение повлияет на величину критерия оптимальности.

Следующие группы ограничений:

• по количеству и качеству сырья и продукции – состав сырья, как правило, задается не нами и менять его нельзя; количество сырья также может быть ограничено; выпуск продукции не должен быть больше того, что можно реализовать; качество продукта не должно быть ниже стандарта или требований заказчика;

• по условиям технологии – расход воздуха не может превышать производительность вентилятора; температура не может быть выше предела, при котором портится материал аппарата или катализатор; размеры аппаратов изменять мы не можем и т. д.;

• по экономическим и конъюнктурным соображениям – капитальные затраты не должны превышать выделенной суммы; срок ввода нового производства не должен быть позже запланированного; нельзя применять методы и устройства, защищенные чужими

патентами;

• по соображениям охраны труда и окружающей среды – это чрезвычайно важная группа ограничений, жесткость которых все возрастает.

Кроме классификации по смыслу ограничения можно различать по формально-математическим признакам. Так, выделяют ограничения типа равенств и типа неравенств.

Ограничения типа равенств устанавливают определенное значение того или иного параметра:

Здесь fi – один из параметров, аi – задаваемое для него значение. Например, в конкретных условиях работы задаются численные значения, характеризующие состав сырья, размеры аппаратов, нагрузку на аппарат и т. д.

Ограничения типа неравенств определяют пределы, в которых допустимо изменение параметров процесса:

Два первых ограничения (7.3) задают односторонние пределы (например, производительность не ниже заданной; температура не выше той, на которую рассчитан материал). Третье ограничение – двустороннее (например, температура жидкости в пределах от температуры замерзания до температуры кипения).

Ограничения

1-го рода: на входные факторы;

2-го рода: на промежуточные и выходные величины, что сложнее.

Наконец, в расчетных процедурах нахождения оптимума большую роль играет деление ограничений по следующему признаку: ограничения 1-го рода – условия (7.2) или (7.3), где в качестве параметров f фигурируют входные факторы; ограничения 2-го рода, где параметрами служат различные функции входов, например результаты процесса или, скажем, температуры в каких-то точках внутри аппарата.

Оптимизирующие факторы – управляемые входы (температура…).

Оптимизирующие факторы – те из входов системы, которые в процессе оптимизации относят к управляющим. Это те воздействия, которые мы применяем для оптимизации процесса. Остальные факторы при этом не регулируются, хотя их значения, разумеется, учитывают при определении оптимальных условий: эти факторы фигурируют в задаче в качестве ограничений типа равенств.

Оптимальное проектирование – много факторов (недорого на модели). Оптимальное управление (динамическое программирование) – факторов поменьше.

Число оптимизирующих факторов зависит от того, на какой стадии разработки производства осуществляется оптимизация. Если производство еще проектируется (оптимальное проектирование), то к оптимизирующим целесообразно отнести как можно большее число факторов. Действительно, на этой стадии варьировать факторы проще всего: изменение значений осуществляется не в действительности, а на математической модели. Поэтому здесь желательно найти оптимальные значения максимального числа факторов.

Но задача оптимизации возникает и после пуска производства (оптимальное управление). При этом число оптимизирующих воздействий становится существенно меньшим. Часть факторов мы уже не можем менять, например размеры аппаратов. Но и не все остальные факторы целесообразно теперь регулировать. Дело в том, что чем больше управляющих факторов, тем сложнее система управления, сложнее ее математическая модель. При очень большом числе факторов она может стать столь сложной, что компьютер, рассчитывающий оптимальные режимы, перестанет поспевать за изменением условий протекания процесса: рекомендации по оптимизации придут, когда реализовать их уже поздно. Все это заставляет использовать для оптимального управления сравнительно небольшое число факторов.

Целевая функция – критерий оптимальности, его экстремум, оптимальные значения факторов при нем. Функционал, распределенные факторы, характер распределения. Условный экстремум (на границе, при ограничениях и т.п.).

Целевая функция – это синоним критерия оптимальности, но это критерий, рассматриваемый как функция входных факторов:

Чем больше (или чем меньше) значение F, тем лучше. Поэтому можно дать такое определение оптимума: оптимум – это экстремум (либо максимум, либо минимум) целевой функции. Те значения факторов хj, при которых достигается оптимум, называют оптимальными.

Таким образом, математически задача оптимизации формулируется как задача отыскания экстремума. При этом в точке экстремума должны соблюдаться все ограничения. Поэтому во многих случаях оптимум приходится искать на краю области допустимых значений,

за пределы которой нельзя выйти из-за ограничений (рис. 7.1). На рисунке отрезок аb есть область допустимых значений, определяемая ограничением a ≤ x ≤ b. Максимум функции F расположен правее точки b, но оптимальным будет значение x = b, поскольку большие значения х запрещены ограничением.

Рис. 7.1. Целевая функция с оптимумом на краю допустимой области

Методы отыскания оптимума:

- аналитические (на основе вариационного исчисления), они играют роль теоретической основы

- численные (поисковые, при вычислимой функции, в т.ч. при неявной форме уравнений относительно выходных величин)

- экспериментальные (при невычислимой, но воспроизводимой функции).

Методы отыскания оптимума можно разделить на три основные группы.

1. Аналитические методы. Их применяют, например, когда мы можем продифференцировать целевую функцию и искать экстремум исходя из условия равенства нулю производных. Условие отыскания экстремума при аналитической оптимизации - нулевое значение 1-х производных по факторам одинаковом знаке 2-х.

2. Численные, или поисковые методы. Для их применения нужно, чтобы целевая функция была вычислимой : должен быть известен алгоритм, по которому можно рассчитать значение критерия оптимальности при заданных значениях факторов.

3. Методы, применяемые, если целевая функция невычислима. Практически это значит, что вид функции неизвестен. Тогда остается одно: планировать и реализовывать эксперимент так, чтобы в результате достигнуть района оптимума. Это – экспериментальная оптимизация, составляющая важный раздел планирования эксперимента.

Максимум и минимум. Седла и перегибы, локальность, ограничения, нормальные уравнения. Множественность решения: глобальность и локальность. Поверхность отклика, ее симметрия как источник глобальной и локальной неоднозначности.

Пусть целевая функция задана формулой (7.4). Классический метод отыскания экстремума заключается в решении системы

Левые части уравнений (7.5) – функции от факторов х1, х2, ..., хn. Поэтому решение системы может дать значения x1опт , x2опт , ..., xn_опт , являющиеся оптимальными значениями факторов; их совокупность определяет наилучшее решение задачи. Если оптимизируется технологический процесс, то этому решению соответствует оптимальный

режим. Однако следует убедиться, что полученные значения действительно оптимальны. Для этого необходимо выяснить:

1) действительно ли решение системы (7.5) определяет экстремум, поскольку известно, что условию (7.5) может удовлетворять и седловая точка, или точка перегиба;

2) получен ли экстремум нужного знака (максимум, если нас интересует максимум, или минимум в обратном случае);

3) если система имеет несколько решений, то какое из них отвечает глобальному оптимуму, а какие – локальным. Так, если зависимость имеет несколько максимумов, то глобальным будет тот из них, который выше всех остальных; остальные будут локальными;

4) все ли ограничения соблюдаются в точке экстремума. Рассмотрим некоторые важные задачи оптимизации. Одна из разобранных выше задач, а именно расчет коэффициентов методом наименьших квадратов (см. разд. 2.3) – типичная задача такого рода. В ней критерий оптимальности – сумма квадратов S; оптимизирующие факторы – значения рассчитываемых параметров. Ограничения в изложенном варианте отсутствуют. Система (7.5) – это система нормальных уравнений (2.42).

Примеры решаемых небольших задач. Сложные или объемистые задачи – для численных методов. Обратимая экзотермическая реакция первого порядка, оптимальная температура: Т_опт=(Е₂-Е₁)/(Rln(A₂/A₁E₂/E₁C_B/C_A)).

Если химическая реакция проходит без побочных стадий, то удается принять очень простой критерий оптимальности – скорость реакции (см. пример 7.2). Согласно схеме, данной в предыдущем разделе, теперь нужно установить ограничения и выбрать оптимизирующие факторы. Но часто бывает удобно сначала записать целевую функцию, а уже потом перейти к ограничениям и оптимизирующим факторам. Так поступим и мы. Для определенности рассмотрим реакцию

Таким образом, наш критерий зависит от трех параметров: температуры и концентраций сА и сВ. По-видимому, эти три величины можно было бы избрать в качестве оптимизирующих факторов. Но необходимо учесть, что концентрации сА и сВ не относятся ко входам рассматриваемой системы. Они сами получаются как результат реакции. Ясно, что для увеличения скорости следовало бы иметь как мож- но большее значение сА и как можно меньшее значение сВ. Цель же процесса – противоположная: увеличить сВ и уменьшить сА. Поэтому концентрации нельзя рассматривать как независимые факторы.

Итак, есть лишь один независимый фактор, которым можно влиять на F – температура. Рассматриваемая задача обычно называется задачей об оптимальной температуре химической реакции. Но при разных концентрациях влияние температуры может быть

различным. Поэтому будем решать задачу в такой постановке: зафиксируем некоторые значения сА и сВ и при этих значениях найдем оптимальную температуру. Таким образом, в данном решении концентрации веществ А и В выступают в роли ограничений типа равенства.

Кроме того, учтем одно ограничение типа неравенства, которое существует в любой практической задаче: температура не может превысить некоторого максимального значения Тмакс :

Прежде чем обращаться к формуле (7.5), рассмотрим два случая, когда оптимум можно найти из физических соображений, без расчета. Если реакция необратима, т. е. А2 = 0, то в правой части формулы (7.6) остается только первый член, который с повышением температуры все время растет. Максимум в смысле условия (7.5) отсутствует.

Тогда оптимум определяется ограничением: следует поддерживать максимально допустимую температуру

Если реакция обратима, но эндотермична, т. е. E1 > E2, то результат рассуждений тот же, что и в предыдущем случае. Действительно, с повышением температуры равновесие сдвигается вправо и скорость прямой реакции возрастает. Поэтому оптимум определяется

формулой (7.6).

Если реакция – обратимая экзотермическая, то к решению потребуется применить иной подход. В этом случае с повышением температуры вначале более существенным будет возрастание скорости

прямой реакции; обратная еще слишком медленна. При дальнейшем увеличении температуры обратная реакция, имеющая большую энергию активации, начинает «нагонять» прямую. При данном составе смеси существует температура Tравн, при которой смесь находится в равновесии: r = 0; затем ход реакции смещается влево.

Где-то посередине имеется температура, при которой суммарная скорость реакции максимальна. Это и есть оптимальная температура Топт . Для ее расчета запишем условие (7.5) для формулы (7.6):

Здесь записана частная производная по T, поскольку она берется при фиксированных значениях cA и cB.

Из уравнения (7.9) несложными преобразованиями можно получить формулу для оптимальной температуры:

Ступенчатое охлаждение. Из соотношения (7.10) следует, что чем выше cA и чем меньше cB, тем выше Топт; по мере роста степени превращения величина Топт уменьшается. При cB→0, согласно формуле, Топт →∞. Поэтому на начальном участке реактора следует устанавливать максимально допустимую температуру Tмакс, а с момента, когда рассчитанная по этому уравнению Топт сравнивается с Tмакс, дальнейшее изменение температуры должно определяться уравнением (7.10). Такую зависимость иллюстрирует кривая 1 на рис. 7.2, изображающая оптимальный ход температуры в зависимости от степени превращения.

Рис. 7.2. Изменение оптимальной температуры в зависимости от степени превращения для обратимой экзотермической реакции

Реально осуществить такое распределение температуры чрезвычайно трудно. Действительно, на начальном участке следовало бы поддерживать постоянную максимальную температуру, что крайне сложно: здесь скорость реакции очень велика, выделение тепла максимально и полностью отвести его вряд ли удастся. Поэтому применяют другие распределения, более или менее приближающиеся к оптимальному. Так, ломаная 2 на рис. 7.2 показывает ход температуры в пятислойном каталитическом реакторе, в каждом слое которого реагирующая смесь адиабатически разогревается за счет тепла реакции, а между слоями охлаждается в теплообменнике. Такое распределение температур приведет к несколько худшим результатам (большему потребному объему катализатора), чем задаваемое кривой 1, но его сравнительно легко осуществить. Чем больше ступеней катализа, тем ближе ломаная к оптимальной кривой.

Если реакцию проводят в аппарате смешения, то во всем его объеме имеем одну и ту же степень превращения. Ей соответствует одна точка на кривой 1 (см. рис. 7.2), соответствующая оптимальной температуре для данного аппарата.