Общие проблемы науки (нелинейность, обратные связи).

Внешние связи системы. Определяя понятие «система», я уже говорил об исключительной важности связей между ее элементами. Для динамических систем не менее важны внешние связи – взаимодействия системы с окружающим ее миром. Внешние связи бывают двух основных классов: воздействия мира на систему – входы системы и воздействия системы на мир – ее выходы, результат функционирования системы. Особый случай – обратные связи: выход системы оказывает влияние на ее вход. Существуют положительные обратные связи, когда усиление выходного сигнала усиливает сигнал на входе, и отрицательные обратные связи, когда с усилением выходного сигнала входной ослабляется. Как правило, действие положительных обратных связей приводит к возбуждению системы, интенсификации ее деятельности; в неблагоприятных случаях это может привести к тому, что система «пойдет вразнос». Наоборот, отрицательные обратные связи стабилизируют состояние системы.

Фазовые координаты, аттракторы (узлы), репеллеры, седла, предельные циклы (перерегулирование, колебательные химические реакции). Странный аттрактор, хаос, турбулентность. Численное моделирование – проблема хаоса.

Некоторые особенности задач, связанных с устойчивостью.

При описании задач, связанных с устойчивостью, часто бывает удобно изображать состояние системы в фазовых координатах. По осям координат откладываются значения параметров, определяющих состояние системы. Точка в фазовом пространстве соответствует какому-либо из таких состояний.

При этом если мы рассматриваем изменение фазового графика во времени и если точка неподвижна, значит, состояние системы стационарно; нестационарный режим изображается движущейся точкой. Что отличает в фазовом пространстве неподвижные точки, соответствующие устойчивым или неустойчивым стационарным состояниям? Если состояние, изображаемое точкой, устойчиво, то около нее имеется область, в которой все возможные траектории нестационарных процессов движутся в направлении этой точки.

Переходные процессы заканчиваются стационарным состоянием. Такие точки называют аттракторами. Напротив, точку, изображающую неустойчивое стационарное состояние, окружает область, где все траектории направлены прочь от этой точки. Такую точку называют репеллером (от лат. attraho – притягивать, repello – отталкивать). Бывает и так, что малое число траекторий (обычно – две) направлены к данной точке, а остальные – от нее. Это случай седловой точки.

Что может произойти, если система вышла из неустойчивого состояния и предоставлена самой себе? Простейший вариант, к которому сводились рассмотренные выше случаи: вблизи данного репеллера отыщется аттрактор и точка перейдет в него, система окажется в ином, уже устойчивом состоянии. Но возможны и другие варианты.

Один из них таков. Точка начинает двигаться по замкнутой кривой, совершая один оборот за другим. Такую кривую называют предельным циклом. Движение точки по предельному циклу отображает протекание на объекте колебательного процесса, параметры которого периодически изменяются во времени. Так ведут себя многие процессы при перерегулировании: вместо того чтобы под воздействием регулятора прийти к заданному режиму, процесс начинает совершать непрерывные колебания [13]. То же наблюдается при возникновении колебательных химических реакций [39].

В последние десятилетия обнаруживается еще один возможный вариант, обозначаемый термином «странный аттрактор». Странный аттрактор – это не точка, а целая область в фазовом пространстве, обладающая двумя свойствами. Во-первых, это аттрактор – точка, попавшая в его окрестность, будет двигаться к нему и затем войдет внутрь. Во-вторых, внутри странного аттрактора существует множество (теоретически бесконечное) возможных траекторий, но все они неустойчивы. Точка, вошедшая в странный аттрактор, начнет двигаться по какой-либо траектории, но вследствие неустойчивости этого движения при малейшем возмущении перескочит на другую «случайно подвернувшуюся» траекторию, затем на третью и т.д. Система войдет в режим хаотических колебаний.

Пример 6.2. Ламинарное течение жидкости при постоянном расходе стационарно. Но если скорость превысит предел, определяемый критическим значением критерия Re, то ламинарное течение становится неустойчивым и поток эволюционирует в сторону странного аттрактора – турбулентного режима, в котором траектория движения любой частицы неустойчива и поэтому претерпевает хаотические пульсации.