Экспериментальный поиск оптимума. Влияние ошибок измерений на выбор шага поиска. Применение планов 1 и 2 порядка. Применение аппроксимации полиномами.

Наиболее сложен для оптимизации случай, когда мы не знаем вида целевой функции. В этом случае единственная возможность – находить оптимум экспериментально.

В принципе здесь можно применять любой из рассмотренных методов (дитохомия, золотое сечение), но при этом приходится учитывать ряд дополнительных обстоятельств.

Во-первых, вследствие наличия случайных ошибок опытные точки нельзя располагать слишком близко одну к другой. В противном случае значения критерия оптимальности, полученные в соседних точках, окажутся неразличимыми: различия в величине критерия (малые, потому что точки близки) будут значительно меньше уровня ошибки, вследствие чего не удастся опровергнуть гипотезу о равенстве этих значений.

Во-вторых, в эксперименте гораздо острее, чем в расчете, стоит проблема эффективности поиска. Эксперимент почти всегда дороже, чем единичный расчет целевой функции. Расчетная задача, где придется 1000 раз рассчитать F, может оказаться не очень большой

по объему. Эксперимент же по отыскиванию оптимума, требующий 100 опытов, уже очень велик.

В-третьих, при экспериментальной оптимизации характер зависимости F от факторов, как правило, бывает проще, чем при расчетной. Это объясняется тем, что ошибки опытов «сглаживают рельеф» целевой функции. Таким образом, в эксперименте обычно можно

работать с простейшими математическими моделями – чаще всего с многочленами 1-го или 2-го порядков.

Применительно к планированию эксперимента метод покоординатного спуска обычно называют методом Гаусса – Зайделя. Его главное преимущество – простота. Каждое движение (сканирование) вдоль одной из осей координат означает, что от опыта к опыту изменяется только один фактор и влияние этого фактора получается в ясной форме однофакторной зависимости. Его недостаток – малая эффективность, присущая однофакторному планированию эксперимента (см. разд. 2.4). Поэтому методом Гаусса – Зайделя в эксперименте пользуются не часто.

Казалось бы, отмеченная выше простота математических моделей, встречающихся в экспериментальной оптимизации, открывает еще одну возможность. Опишем целевую функцию многочленом. Ясно, что многочлен 1-й степени не может описать зависимость,

имеющую экстремум. Более того, и добавление взаимодействий не позволяет этого сделать. Тогда используем многочлен 2-й степени. Реализуем в интересующей нас области план 2-го порядка. Получив оценки параметров многочлена, легко определить экстремум на основе уравнений (7.5). Однако такой способ отыскания экстремума

крайне неточнен.

Исходная область пространства факторов всегда достаточно велика, и в этой большой области описание целевой функции многочленом 2-го порядка неадекватно, поскольку этот многочлен – лишь приближенное представление неизвестной нам «истинной» функции. Кроме того, экспериментальные точки в этом случае располагаются нерационально: в большинстве своем они попадают в части области, далекие от экстремума и поэтому неинтересные для исследователя.