2°. Доверительный интервал для параметра a нормального закона при известном s.

Пусть X~N(a, ), причём s известно.

Получаем выборку (x₁, x₂, ¼ , x_n). Среднее выборочное: ~N(a, ). Его нормированное уклонение:

 ~N(0, 1).

Поэтому:

P F(e), "0.

Заменим неравенство под знаком вероятности равносильным, разрешив его относительно a:

P{  £a£  }F(e)

и можно сформулировать процедуру построения доверительного интервала для параметра a:

a) Задаём доверительную вероятность a.

b) По a с помощью таблицы функции Лапласа находим e из уравнения F(e)a.

3. Искомый доверительный интервал имеет вид [  ,  ],

Отметим, что длина доверительного интервала сколь угодно мала при больших n: 0.

3°. Доверительные интервалы для параметров нормального закона.

Пусть X~N(a, ) и оба параметра неизвестны. Воспользуемся следующей теоремой о выборочном среднем и выборочной дисперсии S² для выборки из нормального закона:

a) ~N(a, );

b) nS²~^c ;

c) S² – независимые случайные величины;

d) ( a)~T_n1.

Пункт a) этой теоремы очевиден, пункт d) следует из трёх предыдущих.

Действительно,

~N(0, 1); ~^c_n1

и из независимости и S следует, что отношение  :   рас­пределено по закону Стьюдента с (n1) степенями свободы.

Пункты b) и c) примем без доказательства. Ограничимся только следующими замечаниями.

В выражении



слагаемые – квадраты случайных величин  , распределённых по нормальному закону; если бы они были независимыми, то, как мы знаем, сумма была бы распределена по закону ^c_n²; однако они связаны линейной зависимостью:

0.

Оказывается, это влияет лишь на число степеней свободы у ^c2, понижая его на единицу. Можно вместо величин (x₁, x₂, ¼ , x_n) ввести с помощью линейного преобразования такие новые величины, которые остаются независимыми и нормальными, причем и S² выражаются через различные новые переменные. Это и обеспечивает независимость. К тому же S² выражается через квадраты ровно (n1) таких новых величин, что и приводит к ^c . Осуществление этой программы мы здесь опустим.

Теперь построить доверительный интервал для a уже нетрудно:

P{ | a|£e}2 p_Tn1(t)dt, "0,

или

P{ eS£a£ eS}2 p_Tn1(t)dt.

Строим доверительный интервал так:

a) Задаём a.

b) По a из таблицы распределения Стьюдента находим значение e из урав­нения  p_Tn1(t)dt .

c) Нужный интервал имеет вид: [ eS, eS].

Теорема о выборочном среднем позволяет построить доверительные интервалы также для s² и s. Действительно, так как  nS²~^c , то для любых x₁, x₂, таких, что 0£x₁x₂+¥:

P{x₁£ nS²£x₂} (x)dx.

Перепишем неравенство под знаком вероятности, решив его относительно s²:

P{ £s²£ } (x)dx.

O x2 x1 x (x) Рис. 7. 

Обычно выбирают x₁, и x₂ так, чтобы заштрихованные на рисунке площади были равны. Если мы хотим построить интервал с доверительной вероятностью a, то величина каждой из этих площадей, очевидно, равна .

Процедура построения интервала:

a) Задаём a.

b) Находим x₁, и x₂ по таблицам ^c2-распределения из уравнений:

(x)dx , (x)dx .

c) Вычисляем  , что и решает нашу задачу.

Очевидно, для параметра s доверительный интервал выглядит следующим образом:

.