VII. Интервальное оцениваеие

Пусть X~F(x, q), причём вид функции распределения F(x, q) известен, а параметр q неизвестен (считаем его одномерным). Требуется по выборке указать такой интервал ^[ , ^], который с заданной вероятностью a накрывает неизвестный параметр q:

P{ £q£ }a.

Сам интервал ^[ , ^] называется доверительным, а a – доверительной вероятностью. Концы интервала – функции от выборки:

 (x₁, x₂, ¼ , x_n),  (x₁, x₂, ¼ , x_n)

и являются случайными величинами. Желательно иметь a близким к единице, а интервал – поменьше. Однако увеличивая a, мы будем получать всё более широкие интервалы и тем самым всё менее информативные интервалы, всё менее интересные. Желательным свойством можно считать условие:  0, тог­да при достаточно большом числе наблюдений можно как угодно точно локализовать параметр q.

В качестве a обычно берут числа 0,99, 0,95, 0,9. Выбор доверительной вероятности зависит от практических последствий в случае, когда доверительный интервал не накроет q. При a0,9 следует ожидать, что в среднем мы будем промахиваться в десятой части всех применений данного доверительного интервала. Если это не страшно, то можно брать a0,9. Если же нас в этих случаях ждут большие материальные потери или это ведёт к опасностям для человеческой жизни, то такая доверительная вероятность недопустимо мала.

Легко строить доверительный интервал для q, если мы имеем для параметра точечную оценку (x₁, x₂, ¼ , x_n) и хотя бы приближённо знаем закон её распределения. Именно в этом случае по закону распределения , задавая a, мы можем находить такое e, чтобы

P{| q|£e}a.

Иногда a называют надёжностью оценки, а e – её точностью. Здесь мож­но переписать неравенство под знаком вероятности в следующем виде:

P{ e£q£ e}a,

и искомый доверительный интервал имеет вид ^[ e, e^] и длину 2e.

Разберём несколько задач на построение доверительных интервалов.

1°. Приближённый доверительный интервал для вероятности события.

Пусть имеется событие A и для его вероятности P(A)p мы хотим построить доверительный интервал, сделав n опытов. Допустим, что в этих опытах событие A наступило m раз.

По интегральной теореме Муавра-Лапласа:

P{a£ £b}» dy.

Возьмём ae, be:

P{| |£e}» dyF(e), "0.

Стоящее под знаком вероятности неравенство заменим равносильным:

P{m²2mnpn²p²£e²npq}»F(e), "0,

или, заменяя q на 1p:

P{p²(n²e²n)p(2mne²n)m²£0}»F(e), "0.

Кривая yp²(n²e²n)p(2mne²n)m² как функция p является параболой.

Пусть её корни p₁, p₂, причём p₁p₂, т. е.

P{p₁£p£p₂}»F(e), "0

и теперь мы можем указать процедуру построения доверительного интервала для p:

a) Задаём доверительную вероятность a.

b) По a находим e из уравнения F(e)a; корень уравнения легко определяется с помощью таблицы функции Лапласа.

c) Решаем квадратное уравнение p²(n²e²n)p(2mne²n)m²0, находим его корни p₁, p₂, p₁p₂.

d) Искомый приближённый доверительный интервал имеет вид: [p₁, p₂].

Точность этого интервала зависит от того, достаточно ли мала ошибка при использовании теоремы Муавра-Лапласа, можно ли практически считать, что

m~N(np, ).