Билет № 15

1. Свободные незатухающие колебания. Энергия и импульс гармонического осциллятора. Фазовая траектория.

Если колебания происходят при отклонении системы от устойчивого положения равновесия без внешних воздействий, то их называют свободными или собственными.

Свободные колебания тела (осциллятора) в отсутствие трения являются гармоническими, если действующая сила (или момент силы) является квазиупругой, то есть силой, направленной к положению равновесия и зависящей от смещения из положения равновесия линейно.

Гармонические колебания. Колебания величины x называют гармоническими, если величина x изменяется со временем t по закону:

x  A cos(t  0), (1)

где А — амплитуда колебаний,    t  0 - фаза колебаний, 0 - начальная фаза,   2/T - циклическая, или круговая, частота колебаний. Первая и вторая производные величины x по времени

x ̇  A sin(t  0 )  A cos(t  0   / 2), x ̈ A² cos(t  0)  A² cos(t     ) (2) также совершают гармонические колебания с той же

частотой, но с иными амплитудами и начальными фазами. Если x - координата точки, то x ̇  _х - ее скорость, x ̈ a_x - ускорение.

Уравнение гармонических колебаний. Как видно из формул (2), если величина x изменяется по закону гармонических колебаний (1), то она удовлетворяет уравнению гармонических колебаний: ẍ² x  (3)

Верно и обратное утверждение: если уравнение движения физической системы, состояние которой определяется величиной x , приводится к виду

ẍ x  0 ,

где  - положительная постоянная, то решение этого уравнения можно записать в виде x  A cos(t  0), где    , а постоянные A и 0 определяются начальными условиями.

P=mx=̇ -m A sin(t  0 )

На примере мат точки, массы m, колеблющейся под действием квазиупругой силы Fx=-ꬱx:

U=ꬱx²/2=(ꬱa²/2) cos²(t  0 )

K=mx²̇ /2=(ma²²/2) sin²(t  0 ) E=U+K= ma²²/2, где =ꬱ/m

н а рис 167 изображен график, показывающий зависимость импульса гармонического осциллятора от отклонения х. координатную плоскость р,х принято называть фазовой плоскостью, а соответствующий график-фазовой траекторией. Фазовая траектория гармонического осциллятора-эллипс с полуосями a и maω. Каждая точка фазовой траектории изображает состояние осциллятора для некоторого момента времени. S=∏amaω=2∏/ω*ma²ω²/2=1/ν*E. Т.о, полная энергия гарм осц пропорциональна площади эллипса.

x²/a²+p²/m²a²ω²=1 (из импульса и отклонения)-уравнение эллипса.

2. Работа идеального газа в изопроцессах.

Изохорный: v=const: dv=0, A12=0;

Изобарный: p=const: A12=p(V2-V1);

Изотермический: T=const, p=mRT/MV, A12=m/M*RTln(V2/V1)

Адиабатический и политропный

2. Мощность, которую развивает двигатель, равна 2 кВт. При этом вал двигателя совершает 400 об/мин. Определить вращающий механический момент, который создает двигатель.

2. Смесь неона и аргона при 27С находится под давлением 1,2 кПа. Масса неона составляет 40 % от общей массы смеси. Найти концентрацию молекул каждой смеси.