1.7. Примеры решения задач

Решение задач по определению параметров жидкости, основанных на её физических свойствах, не представляет больших трудностей. Решение подобных задач основано на понимании сущности свойств жидкости и применении формул, используемых при определении параметров жидкостей. В том случае, если необходимо определить плотность жидкости при изменении давления, предлагается самостоятельно вывести формулу для определения изменения плотности по аналогии с (1.10).

Достаточно часто встречается случай, когда давление жидкости в полностью заполненном резервуаре, ёмкости или трубопроводе повышается вследствие повышения температуры (например, нагревание полностью заполненной водой ёмкости на солнце) или при подаче дополнительного объёма жидкости (например, при опрессовке трубопровода или при гидроударе - при резком закрытии крана или задвижки). В этом случае с учётом того, что конструкция резервуара, ёмкости или трубопровода принимается абсолютно жёсткой (отсутствует деформация корпуса), то такие задачи при применении формул (1.5) и (1.8) не имеют решения, так как при неизменных начальном и конечном объёмах (W₁ = W₂) коэффициенты β_р и β_t будут равны нулю. Для решения подобных задач введём понятие «условного объёма».

а) б)

Рис. 1.7. Схема для определения физических

свойств жидкости при неизменном объёме:

а) - температурное расширение; б) - объёмное сжатие

Рассмотрим абсолютно жёсткий резервуар объёмом W₁, в котором жидкость находится при температуре t₁ (рис. 1.7, а). Будем считать, что при увеличении температуры до значения t₂ объём жидкости увеличился до некоторого условного объёма W₂ = W₁ + ∆W. В этом случае в формуле (1.8) существует первоначальный объём W₁ и конечный объём W₂.

Увеличение объёма на величину ∆W вызовет увеличение давления на величину ∆р. Поскольку конструкцию будем считать абсолютно жёсткой, то в данном случае увеличение давления будет происходить за счёт уменьшения условного объёма (W₁ + ∆W) на величину ∆W (рис. 1.7, б). Поэтому первоначальный объём – это условный объём (W₁ + ∆W), конечный - это реальный объём W₁. В связи с этим формула (1.5) примет несколько иной вид:

. (1.18)

Задача 1.7.1. При гидравлическом испытании трубопровода диаметром d = 200 мм и длиной L = 250 м давление в трубе было повышено до 3 МПа. Через час давление снизилось до 2 МПа. Сколько воды вытекло через неплотности, если модуль объёмной упругости Е₀ = 2060 МПа?

Первоначальный объём воды в трубопроводе:

= 7,85 м³.

Изменение давления за час составит ∆р = 3 – 2 = 1 МПа.

Пользуясь формулами (1.5) и (1.6), определим уменьшение объёма воды ∆W, которое вызвало уменьшение давления (знак «–» в формуле отбросим, учитывая, что объём воды уменьшается):

= 0,00381 м³ = 3,81 л.

Задача 1.7.2. Трубопровод диаметром d = 500 мм и длиной L = 1 км наполнен водой при давлении 0,4 МПа и температуре воды 5 ºС. Определить, пренебрегая деформациями и расширением стенок трубы, давление в трубопроводе при нагревании воды в нём до 15 ºС, если модуль объёмной упругости Е₀ = 2060 МПа, а коэффициент температурного расширения β_t = 0,15∙10^-3 1/ ºС.

Объём воды в трубопроводе:

= 196,25 м³.

Увеличение объёма воды ∆W при изменении температуры на величину ∆t = 15 – 5 = 10 ºС находим из (1.8):

= 0,294 м³.

Найдём увеличение давления ∆р в связи с увеличением объёма воды ∆W, пользуясь понятием условного объёма, так как в реальности увеличение давления происходит без изменения объёма, с помощью формул (1.6) и (1.18):

= 3081447,4 Па = 3,08 МПа.

Найдём давление в трубопроводе р_t после увеличения температуры на 10 ºС:

р_t = р₀ + ∆р = 400000 + 3080000 = 3,48 МПа.

Задача 1.7.3. Сосуд заполнен водой, занимающей объём W = 2 м³. На сколько уменьшится и чему будет равен этот объём при увеличении давления на величину 200 бар при температуре 20 ºС? Модуль объёмной упругости для воды при данной температуре Е₀ = 2110 МПа.

Изменение объёма жидкости определим из уравнения (1.5):

.

Коэффициент объёмного сжатия определим из уравнения (1.6):

= 4,74· 1/Па.

Увеличение давления ∆р = 200 бар = 20· Па. Тогда:

= 0,019 м³.

Искомый конечный объём будет равен:

W_кон = W – ∆W = 1,981 м³.

Задача 1.7.4. Канистра, заполненная бензином и не содержащая воздуха, нагрелась на солнце до температуры 50 ºС. На сколько повысилось бы давление бензина внутри канистры, если бы она была абсолютно жёсткой? Начальная температура бензина 20 ºС. Модуль объёмной упругости бензина принять равным Е₀ =1300 МПа, коэффициент температурного расширения β_t = 8∙ 1/град.

Из уравнения (1.8) находим относительное изменение объёма бензина при увеличении температуры ∆t на 30 ºС (∆t = t₂ – t₁ = 30 ºС):

= 0,024;

∆W = 0,024W.

Найдём увеличение давления ∆р при увеличении температуры ∆t на 30 ºС, пользуясь понятием условного объёма, так как увеличение давления происходит без изменения объёма, с помощью формул (1.6) и (1.18):

= 30,48 МПа.

Задача 1.7.5. Плотность масла АМГ-10 при температуре 20 ºС составляет 850 кг/м³. Определить плотность масла при повышении температуры до 60 ºС и увеличении давления с атмосферного р₁ = 0,1 МПа до р₂ = 8,7 МПа. Модуль объёмной упругости масла Е₀ =1305 МПа, температурный коэффициент β_t = 0,0008 (1/град).

Плотность масла ρ_I при повышении температуры до значения t₂ = 60 ºС вычислим по формуле (1.10):

= 823,6 кг/м³.

Плотность масла при повышении давления до значения p₂ = 8,7 МПа определим, исходя из утверждения, что при уменьшении объёма масса жидкости m_ж не изменяется:

, откуда , (1.19)

где W₁ - объём масла при повышении температуры до значения t₂ = 60 ºС;

∆W - объём, на который уменьшится объём W₁ до значения W₂ = W₁ – ∆W.

Подставив в уравнение (1.19) выражение для ∆W (из формулы 1.5 ∆W = β_рW₁∆р), получим:

= 829 кг/м³.

Задача 1.7.6. Определить объёмный модуль упругости жидкости, если под действием груза А массой 250 кг поршень прошел расстояние ∆h = 5 мм. Начальная высота положения поршня (без груза) H = 1,5 м; диаметр поршня d = 80 мм и резервуара D = 300 мм; высота резервуара h = 1,3 м. Весом поршня пренебречь. Резервуар считать абсолютно жёстким.

Рис. 1.8. Схема к задаче 1.7.6

Сила тяжести, создаваема грузом А, будет равна:

F = mg = 2450 Н.

Давление, создаваемое этой силой (т.е. приращение давления ∆р), определим как:

= 490 кПа.

Первоначальный объём W₁ жидкости равен:

= 0,093 м³.

Изменение объёма равно:

м³.

Модуль объёмной упругости определим, используя формулы (1.5) и (1.6):

Па =1814 МПа.

Задача 1.7.7. Компрессор, имеющий производительность T_к = 1,8 норм. м³/мин, сжимает воздух до 8 бар. Температура атмосферного воздуха на входе в компрессор составляет t_в = 20 ºС, относительная влажность равна φ = 70 %. В ресивере сжатый воздух охлаждается до 25 ºС. Сколько воды выпадает в ресивере в течение часа?

Учитывая, что 1 норм. м³ воздуха имеет массу 1,205 кг, масса воздуха, сжимаемого в течение часа

= = 130 кг.

По графику (рис. 1.6) находим, что содержание влаги в 1 кг насыщенного воздуха при атмосферном давлении (на графике это линия при 0,00 МПа) и температуре 20 ºС составляет 15 г. При относительной влажности φ = 70 % содержание влаги в 1 кг воздуха составит

= 10,5 г.

Содержание влаги в 1 кг воздуха, сжатого до 8 бар и охлаждённого до 25 ºС при относительной влажности φ = 100 %, согласно графику (рис. 1.6), составляет 2,4 г. Отсюда следует, что «лишняя» влага выпадает в виде конденсата. Количество конденсата, выпадающего из 1 кг сжатого воздуха

= 8,1 г.

Количество конденсата, выпадающего в течение часа, составит

= 1053 г.