2.7. Примеры решения задач

При решении задач по гидростатике необходимо различать такие понятия, как давление р и сила давления Р. Если давление р зависит только от высоты столба жидкости, то сила давления Р определяется площадью поверхности S, на которое по нормали действует давление жидкости:

Р = рS.

Применяя основное уравнение гидростатики, нужно помнить, что второй член в правой части уравнения может быть как положительным, так и отрицательным. Необходимо твёрдо различать давления абсолютное, избыточное (манометрическое) и вакуумметрическое, а также весовое давление столба жидкости ρgh. Очевидно, что при увеличении высоты столба жидкости давление увеличивается, а по мере подъёма к свободной поверхности жидкости - уменьшается. Необходимо четко представлять, что пъезометрическая высота – это высота столба жидкости в пъезометре (пъезометр – это стеклянная трубка, манометр жидкостного типа для измерения избыточного давления).

При решении задач, в которых даны поршни или системы поршней, следует составить уравнение равновесия, то есть равенство нулю суммы всех сил, действующих на поршень или систему поршней. В задачах на относительный покой жидкости следует учитывать повышение давления за счёт силы инерции переносного движения. Положение свободной поверхности жидкости в сосуде при заданной угловой скорости вращения определяется объёмом находящейся в ней жидкости. При этом используется формула объёма параболоида вращения W_п:

, (2.20)

где R – радиус основания параболоида;

h – высота параболоида.

Если угловая скорость вращения достаточно большая, то силой тяжести жидкости можно пренебречь и повышение давления следует определять по формуле (2.13).

Сила давления жидкости на плоскую стенку зависит от положения центра тяжести h_С и центра давления h_D площадки. Численное значение силы давления жидкости на плоскую стенку определяют по формуле (2.18). В случае необходимости определения какой – либо внешней силы необходимо составить уравнение моментов всех действующих сил, правильно учитывая плечи этих сил относительно выбранного центра. Если стенка находится в жидкости на некоторой глубине, то глубина погружения центра тяжести будет определяться как сумма собственно центра тяжести площадки и высоты столба жидкости от верхней точки площадки до свободной поверхности жидкости. Глубину погружения центра давления в этом случае определяют по соответствующим формулам, приводимым в учебниках и справочниках по гидравлике. В данном пособии этот вопрос не рассмативается.

При определении силы давления жидкости на криволинейную поверхность необходимо помнить, что значение этой силы складывается из горизонтальной (сила давления жидкости на вертикальную проекцию данной стенки) и вертикальной (вес жидкости в объёме, заключенном между данной криволинейной стенкой, свободной поверхностью жидкости и вертикальной проекции стенки) составляющих, и определяется по формуле (2.19).

Задача 2.7.1. В цилиндрический бак диаметром d = 2 м до уровня h = 1,5 м налиты вода и бензин. Уровень воды в пьезометре, открытом в атмосферу, ниже уровня бензина на h_п = 300 мм. Определить объём находящегося в баке бензина, если плотность бензина ρ_б = 700 кг/м³, плотность воды ρ_в = 1000 кг/м³.

Рис. 2.17. Схема к задаче 2.7.1

Исходя из схемы подключения пъезометра, можно утверждать, что давление на дне бака и в нижней части пъезометра (точки А и В, рис. 2.17) будет одинаковым: р_А = р_В. Составим основное уравнение гидростатики, где весовое (избыточное) давление воды и бензина в баке будет равно весовому давлению воды в пьезометре:

,

где h_в и h_б - высота воды и бензина в баке соответственно.

Поскольку в этом уравнении два неизвестных (высоты h_в и h_б), выразим h_в = h – h_б, и подставим:

.

После сокращения получим:

, откуда высота бензина в баке

= 1м.

Объём находящегося в баке бензина:

= 3,14 м³.

Задача 2.7.2. Определить абсолютное давление р₀ воздуха на свободной поверхности воды в напорном баке по показанию ртутного манометра. Какой высоты h_п должен быть уровень воды в пьезометре для измерения того же давления р₀? Высоты h = 2,6 м; h₁ = 1,8 м; h₂ = 0,6 м. Плотность ртути ρ = 13600 кг/м³, воды ρ = 1000 кг/м³. Атмосферное давление составляет 765 мм. рт. ст.

Рис. 2.18. Схема к задаче 2.7.2

Составим основное уравнение гидростатики в абсолютных величинах давлений. Из анализа схемы, изображённой на рис. 2.18, видно, что давление в ртутном пъезометре на линии А, образованное за счёт весового давления столба ртути (h₁ – h₂) и атмосферного давления, будет уравновешено весовым давлением воды ρ_вg(h – h₂) и абсолютным давлением р₀, действующим на свободной поверхности воды в баке:

, откуда

=

= 242310,5 Па = 0,24 МПа.

Для нахождения высоты h_п рассуждаем аналогично: весовое давление воды ρ_вgh в баке и абсолютное давление р₀, действующее на свободной поверхности, будут уравновешены весовым давлением ρ_вgh_п воды в пъезометре и атмосферным давлением:

, откуда

= 16,92 м.

Задача 2.7.3. Определить силу F, действующую на шток гибкой диафрагмы гидроцилиндра, если её диаметр d = 200 мм, показание манометра р_м = 0,27 МПа, высота h = 1 м. Площадью штока пренебречь. Найти абсолютное давление в левой полости, если h_aт = 740 мм. рт. ст. Плотность жидкости составляет ρ = 850 кг/м³.

Рис. 2.19. Схема к задаче 2.7.3

Сила F, действующая по оси гидроцилиндра, создаёт избыточное давление р_изб, действующее на стенки гидроцилиндра. Давление определим по показанию манометра с учётом высоты столба жидкости h:

= 278330 Па.

Сила, действующая на шток диафрагмы:

= 8740 Н = 8,74 кН.

Атмосферное давление составляет:

= 98642 Па.

Абсолютное (с учётом атмосферного)давление в левой полости:

= 376972 Па = 0,377 МПа.

Задача 2.7.4. Система из двух поршней, соединенных штоком, находится в равновесии. Определить силу, сжимающую пружину. Жидкость, находящаяся между поршнями и в бачке - масло с плотностью ρ = 870 кг/м³. Диаметры D = 80 мм; d = 30 мм; высота h = 1000 мм; избыточное давление р₀ = 10 кПа.

Избыточное давление, действующее на кольцевую поверхность поршней, будет равно:

= 18526 Па.

Рис. 2.20. Схема к задаче 2.7.4

Силы F₁ и F₂, действующие на кольцевые площади поршней с диаметрами D = 80 мм и d = 30 мм, будут равны:

,

.

Сила, сжимающая пружину, будет равна:

= 79,87 Н.

Задача 2.7.5. Определить силу F, необходимую для удержания в равновесии поршня, если труба под поршнем заполнена водой плотностью ρ = 1000 кг/м³. Размеры трубы d = 100 мм, h₁ = 4 м, h₂ = 0,5 м. Длина рычага а = 0,2 м, b =1 м. Собственным весом поршня пренебречь.

Рис. 2.21. Схема к задаче 2.7.5

Логично предположить, что сила F, необходимая для удержания поршня в равновесии, должна соответствовать избыточному давлению под ним, то есть весовому давлению столба жидкости:

= 44100 Па.

Сила на штоке F_ш, необходимая для его удержания в равновесии:

= 346,2 Н

Сила F в соответствии с длинами плеч рычага равна:

= 69,24 Н.

Задача 2.7.6. Автомобиль движется с ускорением а = 3,27 м/с². Определить минимальное количество топлива в баке, обеспечивающее его подачу без подсоса воздуха. Считать, что бензопровод установлен на расстоянии L = 0,45 м от задней стенки бака, диаметр бензопровода мал по сравнению с длиной бака, высота h = 10 мм. Ширина бака b = 0,5 м, плотность бензина ρ = 750 кг/м³. Определить избыточное давление, оказываемое на заднюю стенку бензобака.

а) б)

Рис. 2.22. Схема к задаче 2.7.6

Изобразим положение бензина в баке с минимальным объёмом (рис. 2.22, б). Обозначим стороны прямоугольного треугольника как (x + L) и z. Тогда:

= 0,33367, α = 18,45 град.

= 0,3 м,

= 0,25 м.

Объём минимального количества бензина в баке, обеспечивающего его подачу без подсоса, будет равно:

= 0,047 м3 = 47 л.

Давление, оказываемое на заднюю стенку бензобака, определим по формуле (2.15):

= 2573,25 Па.

Задача 2.7.7. На рисунке показана одна из возможных схем гидроусилителя сцепления автомобиля. Масло под давлением р₀ = 0,5 МПа подводится внутри вала и затем через отверстие - в полость между двумя совместно вращающимися цилиндром 1 и поршнем 2, который может скользить вдоль вала. Давление масла, увеличенное благодаря действию центробежных сил, заставляет поршень перемещаться вправо и обеспечивает этим силу нажатия, необходимую для выключения сцепления. Определить силу давления масла на поршень 2, если его диаметр D =120 мм, диаметр вала d = 20 мм, частота вращения n = 6000 об/мин, плотность масла ρ = 920 кг/м³.

Рис. 2.23. Схема к задаче 2.7.7

Определим угловую частоту вращения:

= 628 рад/с.

Увеличение давления за счет центробежной силы будет увеличиваться пропорционально увеличению расстояния от центральной оси элемента. В этом случае за увеличение давления примем его среднее значение в соответствии с формулой (2.13):

= 635 кПа.

Давление в полости элемента с учётом увеличения давления за счёт действия центробежной силы будет равно:

= 1135000 Па.

Сила, с которой действует давление р на поршень, будет равна:

=7945 Н.

Задача 2.7.8. В сосуд диаметром d = 100 мм и высотой h₂ = 0,3 м залита жидкость до уровня h₁ = 0,2 м. Определить, до какой угловой скорости ω можно раскрутить сосуд, с тем, чтобы жидкость не выплеснулась из него.

Рис. 2.24. Схема к задаче 2.7.8

При ω = ω_max свободная поверхность жидкости займёт положение, изображённое на рис. 2.24. Уравнение свободной поверхности жидкости в виде поверхности параболоида имеет вид:

,

где z₀ - вертикальная координата вершины параболоида. Объём параболоида вращения W_п согласно формуле (2.20) равен:

.

Выразим объём жидкости W_ж, находящейся в сосуде объёмом W_с, учитывая объём параболоида W_п:

.

Поскольку можно вычислить объём жидкости W_ж в сосуде, находящегося в состоянии покоя , то можно записать:

,

, откуда

= 0,1 м.

Угловую скорость ω можно выразить из уравнения свободной поверхности жидкости в сосуде:

= = 39,6 рад/с.

Задача 2.7.9. Резервуар заполнен жидкостью плотностью ρ = 870 кг/м³, высота столба жидкости h = 0,65 м. Основания трапеции боковой стенки а = 0,6 м, b = 0,35 м, длина х = 1,2 м. Определить усилие, действующее на каждый болт крепления боковых стенок и дна резервуара на глубине h, если количество болтов по длине х равно n_х = 8 шт., по длине b равно n_b = 3 шт. Определить диаметр болтов, если допустимое напряжение на разрыв стального болта = 7000 Н/см².

Рис. 2.25. Схема к задаче 2.7.9

Для решения задачи необходимо определить высоты центров тяжести h_С и центров давления h_D боковых стенок. Для наглядности графически отобразим положения центров тяжести и давления (рис. 2.25):

- центр тяжести прямоугольной боковой стенки h_С1 = = 0,325 м;

- центр давления прямоугольной боковой стенки h_D1 = = 0,43 м;

- центр тяжести трапеции h_C2 = = 0,3 м;

- центр давления трапеции h_D2 = = 0,4125 м.

Определим весовые давления, действующие в центре тяжести боковой стенки и трапеции:

- давление р_пр, действующее в центре тяжести прямоугольной боковой стенки

= 2771 Па;

- давление, действующее в центре тяжести трапеции

= 2527,8 Па.

Определим силы давления, действующие на боковые стенки.

Для определения сил давления, действующих на боковые стенки, необходимо определить их площади:

- площадь прямоугольной боковой стенки

= 0,794 м²,

где угол α определим как = 5,2; α = 79,1 º;

- площадь трапеции

= 0,31 м².

Определим силы давления, действующие на боковую прямоугольную стенку и в форме трапеции:

- на прямоугольную стенку

= 2198 Н;

- на стенку в форме трапеции

= 783,6 Н.

Определим силы F, действующие на болты крепления боковых стенок и дна резервуара по линии b и х на глубине h со стороны жидкости. Эти силы будут равны по значению и противоположны по знаку силам реакции со стороны болтов крепления. Обозначим их как F_х (сила, действующая по длине х) и F_b (сила, действующая по длине b). Составим уравнение моментов относительно точки, расположенной на оси симметрии площадок (прямоугольной и трапеции) в верхней точке (точки А и Б).

Уравнение моментов сил, действующих на прямоугольную стенку относительно точки А:

,

h_D1 = , тогда ,

= 1465,3 Н.

Сила, действующая на каждый болт по длине х, будет равна:

= 183,2 Н.

Уравнение моментов сил, действующих на стенку в форме трапеции относительно точки Б:

, откуда

= 497,3 Н.

Сила, действующая на каждый болт по длине b, будет равна:

= 165,76 Н.

Поскольку сила, действующая на каждый болт по длине х, несколько больше, чем по длине b, то диаметр болтов определим исходя из силы F_хn. Определим площадь сечения одного крепежного болта S_n из формулы:

, откуда = 0,0262 см²,

= 0,1826 см.

Диаметр крепежного болта будет не менее d_n = 2 мм.

Задача 2.7.10. Горизонтальная металлическая цистерна круглого сечения диаметром d = 2 м и длиной L = 10 м полностью заполнена минеральным маслом (удельный вес масла 9∙10³ Н/м³). Давление на поверхности масла равно атмосферному. Определить силу давления масла на внутреннюю криволинейную поверхность цистерны. Определить координаты центра тяжести тела давления.

Рис. 2.26. Схема к задаче 2.7.10

Определим плотность масла исходя из формул (1.3) и (1.4):

ρ = = = 918,37 кг/м³.

Центр координат расположим в центре сечения цистерны, ось ОХ направим по горизонтали, ось ОZ - по вертикали по оси симметрии цистерны (рис. 2.26). Сила давления масла на внутреннюю криволинейную поверхность цистерны определим по формуле (2.19) как корень из суммы квадратов силы P_x (сила давления масла на вертикальную проекцию оси ОZ цилиндрической поверхности цистерны) и силы P_z (сила тяжести тела давления, ограниченного осью ОZ и цилиндрической поверхностью), то есть:

.

Для определения силы P_x по формуле необходимо определить площадь проекции цилиндрической поверхности S_z на ось ОZ и центр тяжести h_C этой проекции для определения давления:

= 20 м²;

= 1 м,

= 180 кН.

Сила P_z определим как половину веса масла:

= 141,3 кН.

Сила давления масла на внутреннюю криволинейную поверхность цистерны:

= 228835,5 Н.

Определим координаты центра тяжести тела давления. Центр тяжести будет находиться на линии действия силы давления P_x, то есть координата по оси ОZ будет равна

.

Координату х_ц по оси ОХ определим, составив уравнение моментов относительно т. А:

, откуда

= 032 м.

Задача 2.7.11. Определить диаметр d_р резервуаров - накопителей (ресиверов) 2 автоматической системы тормозов автомобиля, при котором будет обеспечиваться шесть торможений (n = 6) за счёт сжатого воздуха без включения компрессора 1. Последний включается и начинает нагнетать воздух в систему при избыточном давлении р₂ = 0,4 МПа и выключается при р₁ = 0,6 МПа. Кран управления 3 после каждого торможения выпускает воздух из тормозных цилиндров 4 в атмосферу. Принять: диаметр поршня тормозных камер d_п = 180 мм, ходы поршней L_п = 0,06 м, длины резервуаров L_р = 0,8 м, атмосферное давление составляет 749,5 мм. рт. ст. Процесс расширения воздуха считать изотермическим. Объёмом трубопроводов пренебречь. Определить, сколько полных торможений без включения компрессора могут обеспечить эти резервуары, если автомобиль въехал на горный перевал (где атмосферное давление составляет 400 мм. рт. ст.) без использования тормозной системы.

Рис. 2.27. Схема к задаче 2.7.11

Изменение объёма газа связано с изменением его давления. Для решения задачи воспользуемся уравнением Бойля – Мариотта (1.7):

р₁ = p₂ ,

где n – степенной показатель, равный при изотермическом процессе единице, то есть

.

Обозначим объём одного ресивера W₁, объём одной тормозной камеры 4 при одном рабочем ходе – W₂. Учитывая количество ресиверов и тормозных камер, а также количество торможений (n = 6), можно записать:

,

,

где , .

После некоторых математических преобразований и сокращений получим:

, откуда

= 0,197 м ≈ 200 мм.

Определим, сколько полных торможений может обеспечить тормозная система автомобиля на горном перевале. Для этого определим разность нормального и пониженного (на горном перевале) атмосферных давлений:

= 46588,35 Па.

Эту разность давлений обозначим как дополнительное давление р_доп, поскольку именно на эту разность повысится избыточное давление в ресиверах 2 из-за понижения атмосферного давления ( р_изб = р_абс – р_ат), так как абсолютное давление до въезда автомобиля на горный перевал и на нём при неработающем компрессоре будет одинаковым. Тогда избыточное давление в ресиверах р_рес составит:

р_рес = р₁ + р_доп = 600 000 + 46 588,35 = 646 588,35 Па.

Запишем повторно:

p_рес 3W₁ = р₂(3W₁ + 4nW₂),

,

= 7,61.

Количество полных торможений при въезде на горный перевал составит n = 7.