4.3. Примеры решения задач

Задачи данного раздела решают с помощью уравнения расхода и уравнения Бернулли для реальной жидкости с учётом потерь напора h_пот. Необходимо помнить, что коэффициент Кориолиса для ламинарного течения жидкости равен α = 2, при турбулентном α = 1. Потери напора по длине зависят от коэффициента λ, который определяют в зависимости от соотношения толщины вязкого подслоя потока δ и эквивалентной шероховатости ∆_Э по формулам (4.6), (4.7) или (4.8). Для трубопроводов гидропривода используют формулу Блазиуса (4.6). Формулу Шифринсона (4.8) используют реже формулы Альтшуля (4.7), так как она предполагает значительный скоростной напор. Коэффициент внезапного расширения при втекании жидкости в бак ζ_вр = 1, так как . Коэффициент внезапного сужения при втекании жидкости из бака в трубопровод ζ_вс = 0,5, так как . Правила применения уравнения Бернулли приведены в п. 3.5.

Задача 4.3.1. Вода под напором движется в бак, расположенный на высоте h от оси трубопровода. Определить высоту h до уровня воды в баке, открытом в атмосферу, если вязкость воды ν = 0,01 Ст, диаметр трубопровода d = 10 мм, длина L = 20 м, пъезометрический напор в сечении 1 – 1 принять H_п = 20 м. Расход воды в трубопроводе составляет Q = 0,072 л/с. Коэффициенты сопротивления крана ζ_кр = 4, поворота ζ_пов = 1. Трубу считать гидравлически гладкой.

Рис. 4.9. Схема к задаче 4.3.1

Составим уравнение Бернулли для сечений 1 – 1 и 2 – 2 относительно плоскости сравнения 0 – 0. Центр тяжести сечения 1 - 1 лежит в плоскости сравнения, поэтому z₁ = 0. Пъезометрический напор в сечении 1 – 1 является пъезометрической высотой в этом сечении:

.

В сечении 2 – 2 скорость течения воды V₂ = 0, избыточное давление р_изб = 0. Давления в сечениях определим в избыточной системе отсчёта. Коэффициент Кориолиса α = 1.

Потери напора h_пот будут равны сумме потерь напора:

- по длине , где V₁ – скорость течения воды в трубопроводе;

- местных сопротивлений .

Учитывая, что ζ_вр = 1, сумма местных сопротивлений будет равна

.

Скорость в трубопроводе определим из формулы расхода:

= 0,917 м/с.

Определим коэффициент гидравлического трения λ по формуле Блазиуса (4.6):

= 0,0323.

Уравнение Бернулли примет вид:

, откуда

=

= 17 м.

Задача 4.3.2. Поршень диаметром D = 200 мм движется равномерно вверх, всасывая воду. Диаметр трубопровода d = 50 мм, его длина L = 12 м, коэффициент гидравлического трения λ = 0,03, коэффициент местного сопротивления (поворота) ζ_пов = 0,5. При высоте h = 2 м сила, необходимая для перемещения поршня вверх, равна F = 2,35 кН.

Определить скорость перемещения поршня. Найти, до какой высоты h_max можно поднять поршень без возникновения кавитации, если давление насыщенного пара р_нп = 4,25 кПа, плотность воды ρ = 1000 кг/м³. Атмосферное давление принять р_ат = 98,7 кПа. Весом поршня и трением пренебречь.

Рис. 4.10. Схема к задаче 4.3.2

Составим уравнение Бернулли для сечений 1 – 1 и 2 – 2, плоскость сравнения 0 – 0 и сечение 1 – 1 совпадают. Давления в сечениях определим в избыточной системе отсчёта.

В сечении 1 – 1 избыточное давление р_изб = 0, скорость V₁ = 0. Движение жидкости примем турбулентным, коэффициент Кориолиса α = 1.

Под поршнем (в сечении 2 – 2) создаётся вакуумметрическое давление р_вак, за счёт чего жидкость поднимается вверх. Давление р₂ = р_вак будет определяться силой F и площадью поршня S_п:

= 74840 Па.

Потери напора h_пот будут равны сумме потерь напора:

- по длине , где V_тр – скорость течения воды в трубопроводе;

- местных сопротивлений .

Учитывая, что ζ_вр = 1, ζ_вс = 0,5, сумма местных сопротивлений будет равна . Уравнение Бернулли примет вид:

.

С помощью уравнения расхода выразим скорость в трубопроводе:

, откуда .

Подставим выражение для скорости V_тр в составленное уравнение Бернулли:

,

, откуда

= 0,21 м/с.

Наибольшую допустимую высоту подъёма поршня h_max определим из условия падения под поршнем абсолютного давления до давления насыщенного пара р_нп. Составим уравнение Бернулли в абсолютных давлениях:

,

, откуда

=

= 4 м.