38 Питання: 1. Дробово-лінійна функція та її графік

Функція виду y = P(x) / Q(x), де P(x) і Q(x) – многочлени, називається дробово-раціональною функцією.

З поняттям раціональних чисел ви вже напевно знайомі. Аналогічно раціональні функції – це функції, які можна представити як приватна двох многочленів.

Якщо дробово-раціональна функція являє собою приватне двох лінійних функцій – багаточленів першого ступеня, тобто функцію виду

y = (ax + b) / (cx + d), то її називають дробово-лінійною.

Зауважимо, що функції y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (інакше функція стає лінійної y = ax/d + b/d) і що a/c ≠ b/d (інакше функція константа). Дробово-лінійна функція визначена при всіх дійсних числах, крім x = -d/c. Графіки дробово-лінійних функцій за формою не відрізняються від відомого вам графіка y = 1/x. Крива, що є графіком функції y = 1/x, називається гіперболою. При необмеженому збільшенні x за абсолютною величиною функція y = 1/x необмежено зменшується за абсолютною величиною і обидві вітки графіка наближаються до осі абсцис: права наближається зверху, а ліва – знизу. Прямі, до яких наближаються гілки гіперболи, називаються її асимптотами.

Приклад 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Рішення.

Виділимо цілу частину: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Тепер легко бачити, що графік цієї функції виходить з графіка функції y = 1/x наступними перетвореннями: зрушенням на 3 одиничних відрізки вправо, розтягом вздовж осі Oy в 7 разів і зсувом на 2 одиничних відрізки вгору.

Будь дріб y = (ax + b) / (cx + d) можна записати аналогічним чином, виділивши «цілу частину». Отже, графіки всіх дробово-лінійних функцій є гіперболи, різним чином зсунуті вздовж координатних осей і розтягнуті по осі Oy.

Для побудови графіка якийсь довільній дробово-лінійної функції зовсім не обов'язково дріб, задає цю функцію, перетворювати. Оскільки ми знаємо, що графік є гіпербола, буде достатньо знайти прямі, до яких наближаються її гілки – асимптоти гіперболи x = -d/c і y = a/c.

Приклад 2.

Знайти асимптоти графіка функції y = (3x + 5)/(2x + 2).

Рішення.

Функція не визначена, при x = -1. Отже, пряма x = -1 служить вертикальної асимптотой. Для знаходження горизонтальної асимптоти, з'ясуємо, до чого наближаються значення функції y(x), якщо аргумент x зростає за абсолютною величиною.

Для цього розділимо чисельник і знаменник дробу на x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

При x → ∞ дріб буде прагнути до 3/2. Значить, горизонтальна асимптота – це пряма y = 3/2.

Приклад 3.

Побудувати графік функції y = (2x + 1)/(x + 1).

Рішення.

Виділимо у дроби «цілу частину»:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

= 2 – 1/(x + 1).

Тепер легко бачити, що графік цієї функції виходить з графіка функції y = 1/x наступними перетвореннями: зрушенням на 1 одиницю вліво, симетричним відображенням щодо Ox і зсувом на 2 одиничних відрізки вгору по осі Oy.

Область визначення D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Область значень E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Точки перетину з осями: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функція зростає на кожному із проміжків області визначення.

Відповідь: малюнок 1.Функції та їх графіки

2. Дробово-раціональна функція

Розглянемо дробово-раціональну функцію виду y = P(x) / Q(x), де P(x) і Q(x) – многочлени, ступені вище першої.

Приклади таких раціональних функцій:

y = (x3 – 5x + 6) / (x7 – 6) або y = (x – 2)2(x + 1) / (x2 + 3).

Якщо функція y = P(x) / Q(x) являє собою приватне двох многочленів ступені вище першої, то її графік буде, як правило, складніше, і побудувати його точно, з усіма деталями буває іноді важко. Однак, часто досить застосувати прийоми, аналогічні тим, з якими ми вже познайомилися вище.

Нехай дріб – правильна (n < m). Відомо, що будь-яку несократимую раціональну дріб можна представити, і притому єдиним чином, у вигляді суми кінцевого числа елементарних дробів, вид яких визначається розкладанням знаменника дробу Q(x) у твір дійсних співмножників:

P(x)/Q(x) = A1/(x – K1)m1 + A2/(x – K1)m1-1 + ... + Am1/(x – K1) + ...+

+ L1/(x – Ks)ms + L2/(x – Ks)ms-1 + ... + Lms/(x – Ks) + ...+

+ (B1x + C1) / (x2 +p1x + q1)m1 + ... + (Bm1x + Cm1) / (x2 +p1x + q1) + ...+

+ (M1x + N1) / (x2 +ptx + qt)m1 + ... + (Mm1x + Nm1) / (x2 +ptx + qt).

Очевидно, що графік дробово-раціональної функції можна одержати як суму графіків елементарних дробів.

Побудова графіків дробово-раціональних функцій

Розглянемо кілька способів побудови графіків дробово-раціональної функції.

Приклад 4.

Побудувати графік функції y = 1/x2.

Рішення.

Використаємо графік функції y = x2 для побудови графіка y = 1/x2 і скористаємося прийомом «ділення» графіків.

Область визначення D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Область значень E(y) = (0; +∞).

Точок перетину з осями немає. Функція парна. Зростає при х із інтервалу (-∞; 0), спадає при x від 0 до +∞.

Відповідь: малюнок 2.

Приклад 5.

Побудувати графік функції y = (x2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Рішення.

Область визначення D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/3 + 1/3.

Тут ми використовували прийом розкладання на множники, скорочення та приведення до лінійної функції.

Відповідь: малюнок 3.Функції та їх графіки

Приклад 6.

Побудувати графік функції y = (x2 – 1)/(x2 + 1).

Рішення.

Область визначення D(y) = R. Оскільки функція парна, то графік симетричний відносно осі ординат. Перш ніж будувати графік, знову перетворимо вираз, виділивши цілу частину:

y = (x2 – 1)/(x2 + 1) = 1 – 2/(x2 + 1).

Зауважимо, що виділення цілої частини у формулі дробово-раціональної функції є одним з основних при побудові графіків.

Якщо x → ±∞, то y → 1, тобто пряма у = 1 є горизонтальною асимптотой.

Відповідь: малюнок 4.

Приклад 7.

Розглянемо функцію y = x/(x2 + 1) і спробуємо знайти найбільше її значення, тобто найвищу точку правої половини графіка. Щоб точно побудувати графік, сьогоднішніх знань недостатньо. Очевидно, що наша крива не може «піднятися» дуже високо, оскільки знаменник досить швидко починає «обганяти» чисельник. Подивимося, чи може значення функції дорівнювати 1. Для цього потрібно вирішити рівняння x2 + 1 = x, x2 – x + 1 = 0. Це рівняння не має дійсних коренів. Значить, наше припущення не вірне. Щоб знайти найбільше значення функції, треба дізнатися, при якому найбільшому А рівняння А = x/(x2 + 1) буде мати рішення. Замінимо вихідне рівняння квадратним: Ах2 – x + А = 0. Це рівняння має рішення, коли 1 – 4А2 ≥ 0. Звідси знаходимо найбільше значення А = 1/2.Функції та їх графіки

Відповідь: малюнок 5, max y(x) = ½.

диз’юнкція цих нерівностей.

Символічно систему двох нерівностей з однією змінною в загальному вигляді позначають так: f1(х)<g1(х)Ùf2(х)<g2(х) або

f1(х)<g1(х)

f2(х)<g2(х). Відповідно сукупність двох нерівностей з однією змінною в загальному вигляді позначають так: f1(х)<g1(х)Úf2(х)<g2(х) або

f1(х)<g1(х)

f2(х)<g2(х).

Означення: розв’язати систему нерівностей - це означає знайти такі значення змінної із множини хєХ, які перетворюють кожну нерівність системи в істинну числову нерівність.

Означення: розв’язати сукупність нерівностей - це означає знайти такі значення змінних хєХ, які задовольняють хоча б одну нерівність сукупності.