48. Прямокутний паралелепіпед. Куб. Основні властивості. Побудова розгортки куба.

Прямокутний паралелепіпед — паралелепіпед, всі грані якого є прямокутниками.

Моделями прямокутного паралелепіпеда служать класна кімната, цегла, сірникова коробка.

Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що мають спільну вершину, називають його розмірами. Наприклад, є сірникові коробки з розмірами 15, 35, 50 мм.

Площа бічної поверхні:

S_б = 2c (a + b), де a, b — сторони основи, c — бічне ребро прямокутного паралелепіпеда.

Площа повної поверхні:

S_п = 2(ab + bc + ac).

Об'єм:

V = abc, де a, b, c — виміри прямокутного паралелепіпеда.

У прямокутному паралелепіпеді квадрат діагоналі d дорівнює сумі квадратів його вимірів:

d² = a² + b² + c².

Прямокутний паралелепіпед з рівними розмірами називається кубом. Всі шість граней куба — рівні квадрати.

Квадрат довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його розмірів. 

Площа повної поверхні:

S_п = 6a², де a — сторона.

Об'єм:

V = a³.

Діагональ:

d = a√3.

Властивості куба

• В куб можна вписати тетраедр двома способами, притому чотири вершини тетраедра будуть суміщено з чотирма вершинами куба. Всі шість ребер тетраедра лежатимуть на всіх шести гранях куба і дорівнюватимуть діагоналі грані-квадрата.

• Чотири перетини куба є правильними шестикутниками — ці перетини проходять через центр куба перпендикулярно чотирьом його діагоналям.

• У куб можна вписати октаедр, притому всі шість вершин октаедра будуть суміщено з центрами шести граней куба.

• Куб можна вписати в октаедр, притому всі вісім вершин куба будуть розташовано в центрах восьми гранях октаедра.

• У куб можна вписати ікосаедр, при цьому, шість взаємно паралельних ребер ікосаедра будуть розташовані відповідно на шести гранях куба, решта 24 ребра всередині куба, всі дванадцять вершин ікосаедра лежатимуть на шести гранях куба.

Д ля побудови розгорток куба, циліндра і конуса доводиться часто вдаватися при виготовленні виробів з листового матеріалу. Куб обмежений шістьма площинами квадратної форми, рівними один одному за розмірами. Кожна площина називається гранню. Грані взаємно перпендикулярні, т. Е. Розташовані один до одного під прямим кутом. Пряма, по якій перетинаються дві грані, називається ребром куба; в кубі 12 ребер. Точка, де сходяться три ребра куба, називається вершиною; в кубі 8 вершин. Для з'єднання граней до розміру розгортки додається припуск на шов.

49.Означення піраміди. Елементи піраміди. Означення піраміди. Елементи піраміди.

Пірамідою називають многогранник, у якого одна з граней (яку називають основою) - довільний многокутник, інші грані - трикутники зі спільною вершиною.

На малюнку 463 зображено піраміду, основою якої є многокутник АВСDЕ. Грані зі спільною вершиною, про які йде мова в означені піраміди, - трикутники АВQ, ВСQ, СDQ, DЕQ, АЕQ. Ці грані називають бічними гранями піраміди. їх спільну вершину - точку Q називають вершиною піраміди. Піраміду, зображену на малюнку 463 називають пірамідою QАВСDЕ. Ребра піраміди, які з’єднують вершину піраміди з вершинами основи піраміди, називають бічними ребрами піраміди. На малюнку 463 відрізки QА, QВ, QС, QD і QЕ - бічні ребра піраміди.

Піраміду називають n-кутною, якщо її основою є n-кутник.

Трикутну піраміду називають також тетраедр.  На малюнку 463 зображено п’ятикутну піраміду.

Перпендикуляр, проведений із вершини піраміди до площини основи, називають висотою піраміди.

На малюнку 463 відрізок Q)К є висотою піраміди, точка К - основою висоти.

При розв’язуванні задач важливою є наступна властивість:

Якщо у піраміді виконується одна з двох наступних умов: всі бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути або довжини всіх бічних ребер рівні, то основою висоти піраміди є центр кола описаного навколо основи піраміди.

Пірамі́да — багатогранник, який складається з плоского багатокутника і точки (яка не лежить у площині основи) та всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.

Поверхня піраміди складається з основи і бічних граней. Кожна бічна грань — трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною — сторона основи піраміди.

Висотою піраміди є перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи.

Піраміда називається n-кутною, якщо її основою є n-кутник. Для трикутної піраміди існує власна назва — чотиригранник.

Надалі розглядатимемо лише піраміди з опуклим багатокутником в основі. Такі піраміди називаються опуклими багатогранниками.

Правильна піраміда (довершена) — якщо її основою є правильний багатокутник, центр якого збігається з основою висоти піраміди. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему.

Вісь правильної піраміди — пряма, яка містить її висоту. У правильній піраміді бічні ребра рівні між собою, а бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники.

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою. Бічною поверхнею піраміди називається сума площ її бічних граней.