35. Поняття функції. Область визначення і множина значень функції. Способи задання функції. Графік функції.

Функція

Площа квадрата залежить від його сторони. Кож­ному значенню довжини сторони квадрата відповідає єдине значення його площі (мал. 33).

Маса шматка крейди залежить від його об’єму. Кожному значенню об’єму V шматка крейди відповідає єдине значення його маси т.

Кожному значенню температури повітря £ відповідає єдине значення висоти й стовпчика рідини в термометрі.

Кожному значенню змінної х відповідає єдине зна­чення виразу 2х — 1.

Подібних прикладів відповідностей між змінними можна навести багато. Для науки важливо вміти досліджувати такі відповідності. їх називають функ­ціональними відповідностями, або функціями.

Якщо кожному значенню змінної х з деякої множи­ни М відповідає одне значення змінної у, то змінну у називають функцією від х. Змінну х у цьому випадку називають аргументом даної функції, множину М — об­ластю визначення функції, а відповідність між х і у — функціональною відповідністю. Аргумент називають ще незалежною змінною, а функцію — залежною змінною, бо значення функції залежить від значень аргументу.

Область визначення функції — проекція її графіка на вісь х; область значень функ­ції — проекція її графіка на вісь у (мал. 96).

Якщо функцію задають формулою і нічого не гово­рять про область її визначення, то вважають, що ця область — множина всіх значень змінної, при яких ця формула має зміст.

Задання функції формулою зручне тим, що дає можливість визначити значення функції для довільного значення аргументу. Таке задання функції досить еко­номне: здебільшого формула займає один рядок.

Якщо функцію задають формулою і нічого не гово­рять про область її визначення, то вважають, що ця область — множина всіх значень змінної, при яких ця формула має зміст. Наприклад, область визначення функції у — 2х — 1 — множина всіх дійсних чисел, а у=_ЛГі—х — множина дійсних чисел, не більших від 1.

Задавати функції можна і таблицями. Наприклад, функцію у — 2х — 1 для перших десяти натуральних значень х можна задати такою таблицею:

X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
У	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19

Таблиці квадратів чисел, таблиці синусів, косинусів, тангенсів кутів — все це задання функцій за допомогою таблиць.

Табличний спосіб задання функції зручний тим, що для знаходження її значень не треба робити ніяких обчислень. Незручний він тим, що таблиця займає досить багато місця. До того ж у таблиці бувають значення функції не для всіх значень аргумента, а тільки для деяких.

Графікеом функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргумента, а ординати – відповідним значенням функції.

37 Питання: Загальна схема дослідження функції та побудови її графіка

Після того як ми обговорили багато аспектів поведінки функції і способи їх дослідження, сформулюємо загальну схему дослідження функції. Ця схема дасть нам практичний спосіб побудови графіка функції, що відбиває основні риси її поведінки.

Нехай дана функція $ f(x)$. Для її дослідження потрібно:

1). Знайти її область визначення $ \mathcal{D}(f)$. Якщо це не дуже складно, то корисно також знайти область значень $ \mathcal{E}(f)$. (Однак, у багатьох випадках, питання знаходження $ \mathcal{E}(f)$ відкладається до знаходження екстремумів функції.)

2). З'ясувати загальні властивості функції, які допоможуть у визначенні її поведінки: не є функція парної або непарної (бути може, після зсуву вліво або вправо по осі $ Ox$), не є періодичною.

3). З'ясувати, як веде себе функція при наближенні аргументу $ x$ до граничних точках області визначення $ \mathcal{D}(f)$, якщо такі граничні точки є. При цьому можуть виявитися вертикальні асимптоти. Якщо функція має такі точки розриву, в яких вона визначена, то ці точки також перевірити на наявність вертикальних асимптот функції. Пояснимо сказане прикладом:

Приклад 7.36 Нехай $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}

\dfrac{1}{x^2},&\mbox{ за }x\ne0;\\

0,&\mbox{ за }x=0.

\end{array}\right.

$ Ця функція визначена на всій числовій осі, однак 0 є точкою розриву функції: при $ x\to0$ функція прагне до $ +\infty$. Отже, вертикальна пряма $ x=0$ служить вертикальної асимптотой функції, хоча функція, визначена в точці $ x=0$.

4). Якщо область визначення $ \mathcal{D}(f)$ вклоючает в себе промені вигляду $ (a;+\infty)$ або $ (-\infty;b)$, то можна спробувати знайти похилі асимптоти (або горизонтальні асимптоти) при $ x\to+\infty$ або $ x\to\infty$ відповідно.

5). Знайти точку перетину графіка з віссю $ Oy$ (якщо $ 0\in\mathcal{D}(f)$). Для цього потрібно обчислити значення $ f(0)$. Знайти точки перетину графіка з віссю $ Ox$, для чого знайти корені рівняння $ {f(x)=0}$ (або переконатися у відсутності коренів). Рівняння $ {f(x)=0}$ часто вдається вирішити лише наближено, але вже відділення корней19 допомагає краще усвідомити будову графіка. Далі, потрібно визначити знак функції на проміжках між корінням і точками розриву.

6). Знайти інтервали монотонності функції $ f(x)$ (тобто інтервали зростання та спадання). Це робиться за допомогою дослідження знаку похідної $ f'(x)$.

На стиках інтервалів монотонності знайти точки локального екстремуму; обчислити значення функції в цих точках. Якщо функція має критичні точки, що не є точками локального екстремуму, то корисно обчислити значення функції в цих точках.

7). Знайти інтервали опуклості й угнутості функції. Це робиться за допомогою дослідження знаку другої похідної $ f"(x)$. Знайти точки перегину на стиках інтервалів опуклості і угнутості. Обчислити значення функції в точках перегину. Якщо функція має інші точки безперервності (крім точок перегину), в яких друга похідна дорівнює 0 або не існує, то в цих точках також корисно обчислити значення функції.

8). В деяких випадках буває потрібно знайти характерні точки графіка, які не були згадані в попередніх пунктах. Наприклад, якщо функція має похилу асимптоту, то можна спробувати з'ясувати, чи немає точок перетину графіка з цієї асимптотой.

Після з'ясування властивостей функцій, згаданих у пунктах 1 - 8, і знаходження опорних точок (точок перетину з осями координат точок графіка, відповідних точок локального екстремуму, точок перегину та ін.) ми можемо досить точно побудувати графік.