11 Питання Нескінченність множини простих чисел (теорема Евкліда)

Множина простих чисел нескінченна. ► Доведемо теорему методом від супротивного. Припустимо, що множина простих чисел скінченна, тобто, що вона складається із простих чисел p1, p2, ..., pn. Розглянемо число g = p1·p2· ... ·pn + 1. Число g натуральне і більше одиниці, а тому воно має принаймні один простий дільник (теорема 21). Таким простим числом не може бути жодне з простих чисел p1, p2, ..., pn, бо число g при діленні на кожне з них дає в остачі 1. Отже, існує просте число, відмінне від чисел p1, p2, ..., pn. Значить, наше припущення про скінченність множини простих чисел хибне. 

 ◄ Простим чи складеним є задане натуральне число, більше від 1, встановлюється на основі теореми, яка може бути використана як критерій простоти натурального числа. Теорема 23. Якщо натуральне число a більше одиниці не ділиться на жодне з простих чисел, квадрати яких не перевищують a, то число a просте.

► Доведемо теорему методом від супротивного. Припустимо, що число a складене. Тоді за властивістю простих чисел (наслідок 10) найменший його дільник, більший від 1, є числом простим. Позначимо його g. Матимемо a = g·a1,   1 < g < a,   a1 > 1. За вибором числа g воно є найменшим дільником числа a, більшим від одиниці, і простим, а тому g £ a1. Звідси за монотонністю множення цілих невід'ємних чисел g2 £ a1·g, тобто g2 £ a. Отже, g є простим дільником числа a, квадрат якого не перевищує a, а це суперечить умові теореми. 

 ◄ З теореми 23 одержується наслідок. Наслідок 11. Найменший простий дільник натурального числа не перевищує кореня квадратного з даного числа. Задача 3. Встановити, простим чи складеним є число 967.

► Для того, щоб встановити простим чи складеним є число 967, потрібно на основі теореми 23 перевірити, чи є його дільниками всі прості числа від 2 до 31, бо 312 = 961 < 967, а 322 = 1024 > 967. За ознаками подільності встановлюємо, що число 967 не ділиться на прості числа 2, 3, 5 і 11. Безпосередньо перевіряємо, що це число не ділиться на прості числа 7, 13, 17, 19, 23, 29 і 31. Отже, число 967 не ділиться на жодне з простих чисел, квадрати яких не

перевищують числа 967, а тому воно буде простим. Відповідь: число 967 – просте.   12 питання: 

13 питання Два числових вирази сполучені знаком рівності називається числовою рівністю. Числова рівність може бути істинною і хибною,залежно від того чи рівні їх числові значення.

14 питанняя Якщо ліва частина рівності дорівнює правій лише при певних значеннях букв, то така рівність називається рівнянням, а всі букви – невідомими. Наприклад, рівність х – у = 5 є рівнянням з двома невідомими x і y.

Множина всіх допустимих значень букв, які належать алгебраїчній рівності, називається областю допустимих значень (ОДЗ) даної рівності.

Два вирази називають тотожно рівними, якщо для будь-яких значень змінних відповідні значення цих виразів дорівнюють одне одному.

Рівність, утворена двома тотожно рівними виразами, називають тотожністю.

Заміну одного виразу тотожно рівним йому виразом називають тотожним перетворенням виразу.

15 питання Лінійними рівняннями з однією змінною називаються рівняння виду ах = b, тобто рівняння, в лівій частині яких міститься добуток змінної і деякого числа, яке називається коефіцієнтом при змінній, а в правій частині – число, яке називають вільним членом рівняння.

16. Дослідження множини розв’язків лінійного рівняння з однією змінною виду ax+b=0

Лінійним рівнянням з однією змінною називається рівняння виду ах=b, де х – змінна, а і b – числа.

Якщо у лінійному рівнянні ах=b, коефіцієнт а не дорівнює 0, то рівняння ах=b називається рівнянням першого степеня. Лінійним рівнянням у літературі називається : ах+b=0.

Дослідження множини розв’язків лінійного рівняння

1. Якщо а не дорівнює 0, а bЄR, то ах=b має один розв’язок: х=b:а

2. Якщо а=0, YbЄR, b не дорівнює 0, то 0*х=b не має розв’язку: х=b:0

3. Якщо а=0, b=0, то 0*х=0, х – будь-яке число, безліч розв’язків.

18. Рівносильні рівняння. Сформулювати та довести теорему 1 про рівносильні рівняння.

Два рівняння такого виду (1)f1(x)=f2(x) і F1(x)=F2(x)(2) називаються рівносильними на заданій множині, якщо множини їх розв’язків співпадають. Якщо кожен розв’язок рівняння 1 є розв’язком рівняння 2. Якщо множина розв’язків 1-го рівняння є підмножиною множини розв’язків 2-го рівняння, то рівняння 2 називається рівнянням наслідку для рівняння 1.

Два рівняння називаються рівносильними на множині R тоді і тільки тоді, коли кожне із них є рівнянням наслідку для другого.

Теорема 1. Якщо до обох частин рівняння

f 1(x) = f 2(x), хЄХ (1)

додати вираз F(x), яке має значення при всіх х із Х, то отримаємо нове рівняння

f 1(x) + F(x) = f 2 (x) + F(x), хЄХ, (2)

яке є наслідком даного.

Доведення. Насправді, нехай а – корінь рівняння (1), тобто нехай f 1(а) = f 2(a). Додамо до обох частин рівняння одне й те ж саме число F(a), отримаємо істинну рівність f1(a) + F(a) = f2(a) + F(a). Воно показує, що а являється і коренем рівняння (2). Отже, кожен корінь рівняння (1) являється коренем і рівняння (2), тобто рівняння (2) – наслідок рівняння (1).

Наприклад, рівняння 76-62=2х являється наслідком рівняння 76-2х=62, воно виходить із нього додаванням до обох частин одного і того ж виразу 2х-62.

Рівняння f1(x)=f2(x), в свою чергу, отримується із рівняння

f 1(x) + F(x) = f 2 (x) + F(x) додаванням до обох частин одного і того ж виразу F(x). Тому не тільки рівняння (2) – наслідок рівняння (1), але і (1) – наслідок рівняння (2), і, значить, ці рівняння рівносильні.