7. Питання Знаходження нсд чисел за алгоритмом Евкліда.

Алгоритм Евкліда використовують коли числа багатоцифрові, і знаходити НСД цих чисел за їх розкладом на прості множини дуже обємно.

Існує спосіб знаходження НСД, який вимагає лише правильного виконання дії ділення з залишком.

Алгоритм Евкліда грунтується на таких твердженнях:

Твердження 1 (Т.1 про НСД)

(а : в, а>в) НСД(а;в)=в

Твердження 2 (Т.2 про НСД)

(а : в, а = вq+r, 0<r<b), то множина CD чисел а і в співпадає з множиною CD b і r.

Твердження 3 (Т.2)

( а : в , а = bq + r, 0<r<b ) НСД (а;в)= НСД ( в;r)

Дійсно множина СD а і в співпадає з множиною чисел b i r, якщо так то обидві множини мають один і той же найбільший елемент, а це значить, що НСД чисел а і в буде = НСД b i r.

Алгоритм Евкліда для знаходження:

1. Нехай а ≥ b, Якщо (а:в), то за ТВ.1 НСД(а;в)=в.

2. Нехай а : b, то а=bq+r, 0<r<b, то за ТВ.3 НСД(а;в) = НСД (b;r)

Якщо в : r , то НСД (b;r)= r (ТВ.1)

Висновок: НСД (а;в) = НСД (b;r)= r

Якщо в : r, то в=r  ∙ q₁ + r₁ , 0<r₁ <r, то за ТВ.3 НСД (b;r)= НСД (r;r₁ )

3. Якщо r : r₁ , то НСД (r;r ₁) = r₁ (За ТВ.1)

Висновок: НСД (а;в) = НСД (в;r)= НСД( r; r₁)=r₁

Якщо r : r₁ , то r= r ₁  ∙ q₂ +r ₂ , 0<r₂ < r₁ , За ТВ.3 НСД(r;r₁ )= НСД (r₁ ;r₂ )

4. Якщо r₁ : r₂ , то НСД(r₁ ;r ₂)= r (ТВ.1)

Висновок: НСД (а;в) = НСД (в;r)= НСД(r;r₁ )= НСД(r₁ ;r₂ )= r₂

Якщо r₁ : r₂ , то r₁ =r₂  ∙ q3 + r3 , 0<r3 <r₂ , то НСД ( r₁;r₂ )=НСД (r₂;r3 )

Продовжуючи цей процес на n кроці ми знайдемо:

n) Якщо r n-2 : r n-1 , то r n-2 =r n-1  ∙

 ∙ q n + r n , де 0 < r n-2 < r n-1 , НСД( r n-1 ;

r n)

Якщо r n-1 : r n , то висновок: НСД (а;в)=НСД( в;r)=НСД( r; r ₁ )=… = НСД (r n-1 ; r n)=r n

Продовжуючи цей процес ми отримаємо все менші залишки, і в кінцевому результаті ми отримаємо попередній залишок який поділиться націло тобто=0 , тоді найменший відмінний від 0 залишок (передостанній) і буде НСД а і в .

8 Питання . Прості і складені числа. Побудова таблиці простих чисел.

Означення:

Числа які діляться тільки самі на себе і на 1 назив. простими.

Натуральне число а назив. складеним , якщо воно має більше двох різних дільників.(12;36;102)

Число 1 має тільки один дільник, це одне саме число, а тому його не відносять ні до простих, ні до складених.

Число 1 яке є не простим, ні складеним, викреслюють , в кружечок після числа 2 викреслюють і обводять в кружечок після 2 третє число 3 , обводять в кружечок число 3 і далі викреслюють число 3 тобто через 2, обводять число 5 і викреслюють п’яте число і.т.д.

Таблиця простих чисел від 1 до 100

То что белое обводим в кружочек , то что серое вычеркиваем.

Прості числа: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.

9. Питання Теорема про існування простого дільника у довільного натурального числа більшого за 1 (з доведенням).

Довільне натуральне число більше за 1, має принайми хоч би 1 простий дільник.

Дано: ∀ n ∈ N , n>1.

Довести: ∃ р - просте число, n : p

Доведення:

Припустимо : « Що існують такі натуральні числа , які більше за 1, але не мають жодного простого дільника»

А – множина таких чисел;

А – найменше число із множини А, а ∈ А.

(а ∈ А) → (а>1, - а - найменше) → (а-просте) V (a - складене)

1 Випадок:

Число а – просте не може бути так як а ∈ А, а жодне число з цієї множини немає простих дільників, а тому саме не є просте.

2 Випадок:

Число а – складене, якщо так, то воно має натуральний дільник, нехай це буде число в, в ≠ 1, в ≠ а.

(а-складене) → (∃ в ∈ N, в-дільник, в ≠ 1, в ≠ а) → (а : в) → (в<a) → (в ∉ А)

а це протирічить тому що а - найменше числоу множині А, тому в ∉ А, звідси слідує

Якщо ( в ∉ А) → (∃ р - простий дільник в) → (в : р)

(а : в, в : р) → (а : р) – за властивістю транзитивності.

Цей факт, що а ділиться на р , означає , що а Є А , а це протирічить нашому припущенню;

Отже, наше припущення, що існують натуральні числа більше за 1 і які немають жодного простого дільника неправильне.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

2 3 2 5 2; 3 3 2; 5

10.питання В теорії чисел основна теорема арифметики стверджує, що будь-яке натуральне число більше одиниці може бути представлене у вигляді добутку простих чисел і таке представлення є єдиним з точністю до порядку множників.

Пояснення. Для знаходження розкладу натурального числа на прості множники послідовно застосовується операція ділення числа на прості числа починаючи з найменшого. Причому, перехід до наступного більшого простого числа виконується тільки при неможливості цілого ділення на менше. Так, наприклад, можна отримати наступні розклади чисел 420 та 1200:

Таким чином, теоремою стверджується, що не існує таких чисел, які можна було б розкласти на прості множники різними способами.

Доведення. Знаючи розклад числа на прості множники, можна отримати загальну кількість його дільників. Будь-який додатний дільник числа буде представлений тим же набором простих чисел, але з меншими показниками степеня у відповідних множників. Так, наприклад, всі дотатні дільники числа 1200 будуть мати наступну форму  де  ,  та  . Загальна кількість таких дільників буде дорівнювати  .

Розклад чисел на прості множники дає легкий спосіб визначення найбільшого спільного дільника та найменшого спільного кратного.

Узагальнення основної теореми арифметики на область цілих чисел дає можливість її представлення в алгебраїчних термінах^[1], а саме: будь-який елемент, відмінний від нульового та одиничних, можна єдиним способом розкласти на прості множники з точністю до порядку множників та їхнього множення на одиничні елементи.