1 Питання .Для довільних а та в на множині z завжди можливі такі випадки :

1).( будь-яке a   Z нульове,будь-яке в   N) і 1(а:в)-націло —›(( а  в) –кратне)—›(а в)<—>( g  Z нульове,а=в g)

2). (а не  в)—›( (g,r)  Zнульове),а=в g r,де а r в)

Властивості :

1) рефлексивне: так як ( будь-яке а  Z,a a)

2) антисиметричне: так як ( а  Z, в N,якщо а  в,то в а)<—›(а=в)

3) транзитивне: так як (будь-яке а  Z, будь-яке в N, будь-яке с N)( а в с)—>(а с) Теореми про подільність суми і різниці:

Теорема 1(про подільність суми достатня умова)

Якщо кожен із доданків а1,а2,….,аn ділиться на деяке натуральне число в,то їх сума також поділиться на в.

Теорема2( про подільність суми необхідна і достатня умова)

Якщо один із двох доданків ділиться на число в, то щоб їх сума поділилась на в необхідно і достатньо,щоб і другий доданок поділився на в.

Теорема 3(про подільність різниці достатня умова)

Якщо зменшуване і від`ємник ділиться на число в ,то їх різниця ділиться на число в.

Теорема 4(про подільність різниці необхідна і достатня умова)

Різниця двох чисел ділиться на задане число тоді і тільки тоді коли остача цього діленого і від`ємник рівні між собою.

2. Питання Теорема 1(про подільність суми достатня умова)

Якщо кожен із доданків а1,а2,….,аn ділиться на деяке натуральне число в,то їх сума також поділиться на в.

Доведення

За у.т. (а1 в)—>( q1   N,а1 в  q1) (1)

За у.м. (а2 в)—>( q2  N,а2  в   q2) (2)

(аn в)—>( q2n  N,аn  в   qn) (3)

Складемо таку суму

а1+а2+а3+а4+….аn  в   q1+ в q2+…..+в qn = в(q1+q2+….+qn)= в q(a1+a2+….+an)= в  q, q  N)<—>(a1+a2+…..+an)  в.

Теорема2( про подільність суми необхідна і достатня умова)

Якщо один із двох доданків ділиться на число в, то щоб їх сума поділилась на в необхідно і достатньо,щоб і другий доданок поділився на в.

3. Питання:Теорема 3(про подільність різниці достатня умова)

Якщо зменшуване і від`ємник ділиться на число в ,то їх різниця ділиться на число в.

Теорема 4(про подільність різниці необхідна і достатня умова)

Різниця двох чисел ділиться на задане число тоді і тільки тоді коли остача цього діленого і від`ємник рівні між собою.

Доведення

а1–а2=(в q1+r1)–(в q2+r2)=(в q1– в  q2)+(r1–r2)=в(q1–q2)+(r1 r2)

(a1–a2)  в)<—>(r1–r2)  в

Сума представлена різниця , у якій згідно Теоремою 2 необхідно і достатньо 2 доданки r1–r2  в

Так як 0≤r1≤в і 0≤r2≤в,то (r1–r2)<в—>(r1–r2=0,0  в)

Якщо r1–r2=0, то r1=r2

19,20,21 питання Системи лінійних рівнянь з двома змінними розв’язуються одним із трьох способів:

1.    Графічно — в одній системі координат будуються графіки двох рівнянь, і координати точки перетину графіків відповідають кореням рівнянь.

2.    Способом підстановки — в одному рівнянні виражають перше невідоме через друге (або навпаки — друге через перше), а потім його значення підставляють у друге рівняння, дістаючи друге рівняння як рівняння з одним невідомим.

3.    Способом алгебраїчного додавання — в обох рівняннях, використовуючи основні властивості рівнянь, урівнюються коефіцієнти при одному з невідомих так, що вони мають протилежні знаки (знаки «+> і«-») і однакові чисельно. Рівняння почленно додаються і сума коефіцієнтів при одному з невідомих перетворюється на нуль, тим самим перетворюючи на 0 весь одночлен.

Записавши нове рівняння (суму системи рівнянь), ми одержуємо лінійне рівняння з одним невідомим, розв’язуючи яке, знаходимо його корінь. Це числове значення невідомого підставляємо в будь-яке з двох рівнянь і обчислюємо числове значення другого невідомого.