1.5 Сравнение классических теорий
Сравнение всех
четырех классических теорий прочности
можно видеть на рис. 1.5, где представлены
в виде граничных линий следы предельных
поверхностей всех теорий на плоскости
:
1 – теория нормальных напряжений; 2 –
теория максимальных относительных
деформаций; 3 – теория максимальных
касательных напряжений; 4 – теория
удельной потенциальной энергии
формоизменения.
Однако ни третья, ни четвертая теории прочности непригодны для описания поведения материалов при объемном растяжении, давая заведомо неверные результаты. Это ставит под сомнение основную физическую предпосылку, на которой основана четвертая теория, об определяющей роли энергии формоизменения материала в окрестности данной точки.
Для большинства других материалов (искусственных: бетон, строительные растворы, кирпич и др.; и естественных – почти все разнообразие каменных материалов и горных пород) характерно хрупкое разрушение по схеме отрыва и для них классические теории оказались дают удовлетворительные результаты лишь для узкого класса пластических материалов, главным образом металлов.
2 Современные теории прочности
2.1 Теория прочности О. Мора
О
дной
из первых и весьма плодотворных попыток
создания общего для всего многообразия
материалов критерия прочности была
теория прочности О. Мора (1900 г.).
В ее основе лежит предположение, что
промежуточная компонента тензора
напряжений не влияет на прочность
материала, а предельное состояние
возникает на площадках, которые всегда
проходят через направление промежуточного
главного напряжения.
При этом если на
некоторой площадке тела с нормалью n,
на которой действует нормальное
и касательное
напряжения
возникает предельное состояние в виде
неупругого сдвига (скольжения), то
предельное значение касательного
напряжения зависит от нормального
напряжения на площадке.
Предельная поверхность строится на диаграмме О. Мора в виде огибающей наибольших (предельных) кругов напряжений. Такое представление напряженного состояния тела в виде кругов на диаграмме Мора и предельных поверхностей в виде огибающих наибольших кругов дало возможность исследователям значительно увеличить наглядность и упростить сравнительный поиск теорий прочности для разных материалов. Теория Мора не только характеризует предельное напряженное состояние материала, при котором происходит разрушение, но и предсказывает ориентацию предельной площадки, на которой реализуется предельное состояние.
В качестве примера
на рис. 1.6 представлены предельные
огибающие наибольших кругов напряжений
для всех классических теорий прочности,
при этом для удобства сравнения у них
прочность на одноосное сжатие
принята одинаковой. Как видно из графиков
паспортов прочности, все они линейные,
причем 3 и 4 совпадающие огибающие,
параллельные оси нормальных напряжений.
Реальный паспорт прочности для большинства материалов, представленный кривой 5, разительно отличается от теоретических своей нелинейностью. Это доказывает непригодность классических теорий прочности для описания предельных состояний реальных материалов и, в первую очередь, горных пород и каменных (искусственных и естественных) материалов.
Чтобы избежать такого несоответствия, О. Мор предложил описывать предельную поверхность материала с помощью некоторой функции
,
а параметры этой функции определять из эксперимента.
К
ритерий
прочности Мора (также как и другие
теории) можно выразить в инвариантной
(т.е. независимой от выбора системы
координат) форме в пространстве главных
напряжений, если известно уравнение
огибающей в координатах
.
Коэффициент трения
,
равный тангенсу угла внутреннего трения
по
уравнению огибающей (1.5), равен:
.
(1.6)
Из рис. 1.7 путем несложных геометрических построений можно записать выражения для напряжений на площадке сдвига через главные напряжения:
(1.7)
Запишем тождества, которые проверяются прямой подстановкой из (1.6):
,
(1.8)
на основании чего получим инвариантную форму записи предельной кривой в пространстве главных напряжений:
(1.9)
Предложение Мора строить концепцию прочности материала, полагаясь на эксперимент, имеет и сильные и слабые стороны. Прогрессивность критерия (1.5) состоит в том, что появилась возможность описывать прочностные свойства реальных материалов с криволинейными огибающими. Недостаток, в свою очередь, можно усмотреть в отсутствии каких либо теоретических обоснований вида функции (1.5) и ограничений на количество экспериментальных параметров, что толкнуло многих исследователей на путь введения многочисленных эмпирических констант, а это нарушало главный принцип науки – использовать для описания любого явления минимальное число физических параметров при их максимальном теоретическом обосновании.
Принятое по умолчанию важное, но пока недоказанное, предположение О. Мора о несущественной роли промежуточного главного напряжения на прочность неоднократно подвергалось критике и отвергалось, тогда как его идея о возможности выбора экспериментальной функции в виде (1.5) была развита, модифицирована и усовершенствована впоследствии многими учеными. А. Надаи модифицировал идею О. Мора, опираясь на основные параметры энергетической теории прочности, и предложил описывать предельное состояние материала в виде зависимости между октаэдрическими касательным и нормальным напряжениями, которые действуют на октаэдрических площадках, т.е. площадках, равнонаклоненных к направлениям трем главных напряжений:
(1.10)
где
