_1. Случайные события и действия над ними.

1.Случайные события и действия над ними. Виды случайных событий. Комбинации событий Пространство элементарных событий.

Опыт со случайным исходом – это комплекс условий, в которых происходит то или иное явление. Результат опыта – случайное событие. Заранее оговорено, что представляют собой возможные исходы опыта. Случайные события разделяют на элементарные (неразложимые) и составные (разложимые)

Основным интуитивным понятием классической теории вероятностей является случайное событие. События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида:

а) достоверное событие — событие, которое всегда происходит при проведении опыта;

б) невозможное событие — событие, которое в результате опыта произойти не может;

в) случайное событие — событие, которое может либо произойти, либо не произойти. Например, при броске игральной кости достоверным событием является выпадение числа очков, не превышающего 6, невозможным — выпадение 10 очков, а случайным — выпадение 3 очков.

 Определение 1. Если при всяком испытании, при котором происходит событие А, происходит и событие B, то событие А называется частным случаем события B.   Говорят также, что А влечет за собой B и пишут:

А  B  или  B  A

  Например, при бросании игральной кости событие А, состоящее в появлении двух очков, есть частный случай события B, состоящего в появлении четного числа очков.  Если А влечет за собой B, а B влечет за собой А, то эти события равносильны, так как они вместе наступают или вместе не наступают.   Определение 2. Событие (А и B), т. е. событие, состоящее в наступлении обоих событий А и B, называется произведением событий А и B и обозначается через

АB

  Определение 3. Событие (А или B), т. е. событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и B, называется суммой событий А и B и обозначается через

А + B

  Определение 4. Событие, состоящее в том, что событие А не происходит, называется противоположным событию А и обозначает- ся через  .

2. Свойство операций над событиями. Алгебра событий.

Алгебра событий.

 1. Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В.Суммой нескольких событий, соответ-ственно, называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.

Назовем все возможные результаты данного опыта его исходами и предположим, что множество этих исходов, при которых происходит событие А (исходов, благоприятных  событию А), можно представить в виде некоторой области на плоскости. Тогда множество исходов, при которых произойдет событие А+В, является объединением множеств исходов, благоприятных событиям А или В (рис. 1).

2. Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событий называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.

Геометрической иллюстрацией множества исходов опыта, благоприятных появлению произведения событий А и В, является пересечение областей, соответствующих исходам, благоприятным А и В.

3. Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в том, что А произошло, а В — нет.

3. Статистическое определение вероятности, Аксиоматическое определение вероятности.

В качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых события появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой W(A) = m/n, где m - число появления события, n - общее число испытаний

Аксиоматическое определение вероятности. Пусть задано пространство элементарных событий  Е  и каждому событию  А   Е  поставлено в соответствие единственное число Р ( А ) такое, что:

Тогда говорят, что на событиях в множестве Е задана вероятность, а число Р ( А ) называется вероятностью события  А

4. Классическое определение вероятности.

Вероятностью P(A) события в данном опыте называется отношение числа M исходов опыта, благоприятствующих событию A, к общему числу N возможных исходов опыта, образующих полную группу равновероятных попарно несовместных событий:

Примет...

Пример 3. В урне 2 зеленых, 7 красных, 5 коричневых и 10 белых шаров. Какова вероятность появления цветного шара?     Решение: Находим соответственно вероятности появления зеленого, красного и коричневого шаров: Р(зел.)=2/24; Р(кр.)=7/24; Р(кор.)=5/24. Так как рассматриваемые события, очевидно, несовместны, то, применяя аксиому сложения, найдем вероятность появления цветного шара:

5. Геометрическое определение вероятности.

В одном специальном случае дадим определение вероятности события для случайного эксперимента с несчетным множеством исходов. Если между множеством Ω (Омега) элементарных исходов случайного эксперимента и множеством точек некоторой плоской фигуры Ʃ(сигма большая) можно установить взаимно-однозначное соответствие, а также можно установить взаимно-однозначное соответствие между множеством элементарных исходов, благоприятствующих событию А, и множеством точек плоской фигуры Ϭ (сигма малая), являющейся частью фигуры Ʃ, то P (A)=S/s

, где s — площадь фигуры Ϭ, S — площадь фигуры Ʃ.

6. Свойство вероятности.

Нормировка вероятности: 

0 ≤ p (A) ≤ 1 для любого события A

Вероятность противоположного события: 

Для независимых событий A и B: 

p (A и B) = p (A) p (B)

p (A или B) = p (A) + p (B)

Условная вероятность: 

p (AB) = p (B) · p (A | B)

Формула полной вероятности: 

p (B) = p (B | A1) p (A1) + p (B | A2) p (A2) + p (B | A3) p (A3) +… + p (B | Ak) p (Ak)

7. Теорема сложения вероятности.

8. Условная вероятность... ее свойства.

Вероятность появления события  А  при условии, что событие  В  произошло, называется  условной вероятностью события  А  и вычисляется по формуле:

События  А , В   Е называются независимыми, если  Р ( А   В ) = Р ( А ) · Р ( В ) .

В противном случае события  А и В называются зависимыми.

Свойства условной вероятности

• По аксиоме 3: 

• , откуда следует:

• 

• 

9. Теорема умножения.

10. Независимые случайные события.

Независимые события - это такие события  , что:  . Независимость обозначается знаком  : 

Независимое в совокупности множество случайных событий - это такое множество случайных событий  , что: 

Свойства независимости случайных событий

• 

• 

11) формула полной вероятности.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) B₁, В₂,...,В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А) = Р (В₁) Р_В1(А) + Р (В₂) Р_В2(А) + ... + Р (В_n) Р_Вn(А). (*)

где Р(В₁)+Р(В₂)+...+Р(В_n)=1.

12) формула Байеса.

Пусть   — полная группа событий, и   — некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие  , если в результате эксперимента наблюдалось событие  , может быть вычислена по формуле:

13) формула Бернулли.

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, т.е.  , а вероятность противоположного события (событие А не наступило) - буквой  .

Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли

Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения.

14) Предельный случай в схеме Бернули.

15) функция Лапласа.

Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.   Обозначим   Тогда 

Т.к. интеграл   не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция  , которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей. Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в специальных таблицах. Ниже показан график функции Лапласа

. 

16)функция распределения случайной величины.