Уравнения напряжения для синусоидально изменяющихся токов и напряжений в комплексной форме

Обычно силовые трансформаторы, а также ряд видов специальных трансформаторов работают с синусоидально изменяющимися токами и напряжениями. В этом случае вместо дифференциальных уравнений (1) удобнее пользоваться комплексными уравнениями для действующих значений токов и напряжений. Для получения этих уравнений в уравнения (1) следует подставить

u₁ = √2 × U₁ × e ^jωt;    u₂ = √2 × U₂ × e ^jωt; i₁ = √2 × I₁ × e ^jωt;      i₂ = √2 × I₂ × e ^jωt;

и после дифференцирования сократить уравнения на множитель √2 × e ^jωt. Тогда будем иметь

U1 = r1 × I1 + jx11 × I1 + jx12 × I2 ; – U2 = r2 × I2 + jx22 × I2 + jx12 × I1 ,

(2)

где

x11 = ω × L11;     x22 = ω × L22;     x12 = ω × M

(3)

представляют собой полные собственные и взаимные индуктивные сопротивления обмоток.

При симметричной нагрузке трехфазных трансформаторов электромагнитные процессы протекают во всех фазах одинаково и соответствующие электромагнитные величины в каждой фазе также одинаковы и лишь сдвинуты по фазе на 120°. Некоторая несимметрия магнитной цепи трехстержневого трансформатора, а также появление в ряде случаев  третьих гармоник потока (смотрите статью "Явления, возникающие при намагничивании магнитопроводов трансформаторов") обычно не оказывают заметного влияния на работу трансформатора под нагрузкой. К тому же эти явления при необходимости можно учесть отдельно. По этим причинам уравнения (2) с большой точностью применимы также для фазных величин трехфазного трансформатора при симметричной его нагрузке. Система уравнений (2) не учитывает лишь потерь в стали магнитопровода трансформатора. Учет этих потерь рассмотрен в отдельных статьях.

Для трехфазного трансформатора в соответствии со сказанным выше U₁, U₂, I₁ и I₂ представляют собой фазные значения напряжений и токов.

Уравнения (1) и (2) полностью определяют процессы, происходящие в трансформаторе при указанных выше допущениях, и позволяют решать задачи, связанные с работой трансформатора. Например, если определить из первого уравнения (2) I₁ и подставить его значение во второе уравнение (2), то получим зависимость вторичного напряжения U₂ от тока нагрузки I₂:

(4)

Первый член правой части выражения (4) определяет величину U₂ = U₂₀ при холостом ходе, то есть при I₂ = 0:

(5)

а второй член – падение напряжения на вторичных зажимах при нагрузке.

Из уравнения (4) можно найти также значение вторичного тока короткого замыкания I₂ = I_2к, когда вторичная обмотка замкнута накоротко и U₂ = 0:

(6)

Соображения о точности результатов вычислений на основе представленных уравнений напряжения

Однако на практике расчеты по формулам, получаемым непосредственно из уравнений (1) и (2), и в частности по формулам (4) и (6), не могут быть выполнены с необходимой точностью. Причина этого заключается в том, что входящий в (4) и (6) множитель

представляет собой разность двух весьма близких величин. В этом можно убедиться, если пренебречь весьма малыми по сравнению с x₁₁ и x₂₂ величинами r₁ и r₂. Тогда вместо приведенной выше формы этого множителя получим

(7)

то есть значение коэффициента рассеяния согласно равенству (12), в статье "Индуктивности обмоток трансформатора и электромагнитное рассеяние". Но как уже указывалось выше, определение σ по расчетным или опытным значениям M, L₁₁ и L₂₂ связано с большой погрешностью.

Таким образом, если положить r₁ = r₂ = 0, то вместо (4) и (6) получим соответственно

Из этих соотношений видно, что такие важные с эксплуатационной точки зрения величины, как падение напряжения и ток короткого замыкания, определяются небольшой долей σ полного индуктивного сопротивления x₂₂, обусловленной электромагнитным рассеянием. Это же можно сказать и о ряде других величин, характеризующих эксплуатационные свойства трансформаторов и вращающихся электрических машин. Поэтому определение величин, характеризующих электромагнитное рассеяние, составляет важную задачу теории электрических машин.

Кроме указанных соображений о точности результатов, расчеты на основе уравнений (1) и (2) неудобны также в связи с тем, что ввиду неравенства чисел витков (w₁ ≠ w₂) параметры r₁, r₂, L₁₁, L₂₂, M, x₁₁, x₂₂и x₁₂, а также напряжения u₁, u₂, U₁, U₂ и токи i₁, i₂, I₁, I₂ могут сильно различаться по значению.

В связи с изложенным теорию электрических машин в отношении рассматриваемых вопросов целесообразно развивать в следующих тесно связанных друг с другом направлениях: 1. Индуктивно связанные обмотки приводятся путем соответствующих пересчетов к одинаковому числу витков, в результате чего порядки напряжений, токов и параметров этих обмоток становятся соответственно одинаковыми. 2. Из полных собственных индуктивностей L₁₁, L₂₂ и индуктивных сопротивлений самоиндукции x₁₁ и x₂₂ выделяются составляющие – индуктивности рассеяния S₁, S₂ и индуктивные сопротивления рассеяния x₁ и x₂, обусловленные явлением электромагнитного рассеяния, причем это выделение производится с таким расчетом, что остающиеся части полных индуктивностей (L₁₁– S₁, L₂₂ – S₂) и индуктивных сопротивлений (x₁₁ – x₁, x₂₂ – x₂) соответствуют индуктивно связанным цепям с полной связью (c = 1). 3. Разрабатываются непосредственные методы расчета малых параметров – индуктивностей и индуктивных сопротивлений рассеяния – независимо от расчета полных индуктивностей и индуктивных сопротивлений, чем достигается необходимая точность в определении этих малых параметров. 4. От электрических цепей с индуктивной связью делается переход к схемам замещения с электрической связью цепей, что приводит к упрощению расчетов и большей наглядности теории. 5. Индуктивности и индуктивные сопротивления рассеяния вводятся в явном виде в расчетные соотношения и схемы замещения, что позволяет с необходимой точностью рассчитывать величины, зависящие от электромагнитного рассеяния.