2.2.3. Спецификация функций
На специфицированных типах можно задавать операции (функции), используя предопределенные операции на примитивных типах значений и операторы, ассоциированные с конструкторами типов. Таким образом, мы получаем так называемые абстрактные типы данных.
Примеры 2.3:
1) Определим на типе значений БинДерево1 функцию, которая по заданному бинарному дереву (с натуральными метками в вершинах) дает зеркальное отражение этого дерева. Эту функцию обозначим отраж(X). Например, дерево (а) рис.1.3 отображается в дерево (б) рис.1.3. Эта функция определяется следующим образом:
FUN отраж: БинДерево1 -> БинДерево1
отраж(X):= X IF X IN Nat.
отраж((Лев:X,Центр:Y,Прав:Z)) :=
(Лев:отраж(Z),Центр:Y,Прав:отраж(X))
END
(а) (б)
2 2
/ \ / \
7 2 2 7
/ \ / \
4 1 1 4
/ \ / \
1 0 0 1
/ \ / \
2 3 3 2
Рис. 2.3.
Рассмотрим вычисление значения функции отраж(e), где
e=(Лев:(Лев:1,Центр:2,Прав:(Лев:0,Центр:4,Прав:1)), Центр:5, Прав:9).
(Кортеж е представляет дерево, изображенное на рис.1.2.)
отраж(e) = отраж((Лев:(Лев:1,Центр:2, Прав:(Лев:0,Центр:4,Прав:1),
Центр:5,Прав:9)) =
% X =(Лев:1,Центр:2,Прав:(Лев:0,Центр:4,Прав:1)), Y =5, Z =9 %
= (Лев:отраж(9),Центр:5,
Прав:отраж((Лев:1,Центр:2,
Прав:(Лев:0,Центр:4,Прав:1))) =
= (Лев:9,Центр:5,
Прав:отраж((Лев:1,Центр:2,
Прав:(Лев:0,Центр:4,Прав:1))) =
% Х =1, Y =2, Z = (Лев:0,Центр:4,Прав:1) %
= (Лев:9,Центр:5,
Прав:(Лев:отраж((Лев:0,Центр:4,Прав:1)),
Центр:2,Прав:отраж(1)) =
= (Лев:9,Центр:5,
Прав:(Лев:отраж((Лев:0,Центр:4,Прав:1)),
Центр:2,Прав:1) =
% X =0, Y =4, Z =1 %
= (Лев:9,Центр:5,
Прав:(Лев:отраж(1),Центр:4,Прав:отраж(0)),
Центр:2,Прав:1) =
= (Лев:9,Центр:5, Прав:(Лев:1,Центр:4,Прав:0),
Центр:2,Прав:1).
В результате мы получили кортеж, представляющий изображенное на рис.1.4 дерево, которое, очевидно, есть отражение дерева рис.3.2.
5
/ \
9 2
/ \
4 1
/ \
1 0
Рис.3.4.
2)
Определим функцию, заданную на элементах
типа Дерево, которая для каждого элемента
e
Дерево дает сумму всех меток, приписанных
вершинам дерева e.
FUN сумма:Дерево->Nat
сумма((X)):= X IF X IN Nat.
сумма((X,Y)):= X+сумма(Y).
сумма(X::Y)):= сумма(X)+сумма(Y).
END
Например, для дерева, изображенного на рис.2.6, имеем:
сумма(5,[9,(2,[(4,[1,0]),1])]) = 5+сумма([9,(2,[(4,[1,0]),1])]) =
5+сумма(9)+сумма([(2,[(4,[1,0]),1])]) =
5+9+2+сумма([(4,[1,0]),1]) =
16+сумма((4,[1,0])+сумма(1) =
16+4+сумма([1,0])+1 =
21+сумма(1)+сумма(0) = 2+1+0= 22.
Мы рассмотрели только примеры спецификации операций для абстрактных типов данных, в которых использовались конструкторы := , IN, IF и CASE. В общем случае необходим функциональный язык программирования для определения функций. В БМЗ имеется простой функциональный язык типа языка Hope, [Филд и Харрисон 1991] .
Спецификация в этом языке произвольной функция (с несколькими аргументами, принадлежащими разным типам) выглядит так:
FUN f:(T1,T2,…,Tn) -> T
<предложение1>.
<предложение2>.
:
<предложениеN>.
END
Пример 3.4. Окружность на плоскости можно идентифицировать, указав координаты ее центра и ее радиус. Поэтому тип данных «Окружность» можно задать так:
Окружность = (Центр:Точка, Радиус:Real).
Точка = (Абсцисса:Real, Ордината:Real).
Предположим, что мы хотим задать предикат, выясняющий соприкасаются или нет два круга. Тогда можно дать следующее определение.
FUN расст:(Точка,Точка) -> Real
расст(X,Y):= sqrt((X.Абсцисса-Y.Абсцисса)**2+ X.Абсцисса-Y.Абсцисса)**2)
END
FUN соприкас:(Окружность, Окружность)-> Boolean
cоприкас(X,Y) := true IFF расст(X.Центр, Y.Центр)= X.Радиус + Y.Радиус
END
Спецификацию типов данных мы можем оформлять в виде модуля, включая в него те типы и функции, которые родственны или определяются друг через друга.
Пример 2.5. Следующий модуль специфицирует типы данных «Точка», «Вектор», «Окружность» и функции, дающие:
▪ расстояние между точками, длину вектора и площадь окружности; а также предикаты, выясняющие:
▪ коллинеарность двух векторов;
▪ является ли две окружности соприкасающимися;
▪ является ли последовательность векторов цепью (в том смысле, что конец одного вектора совпадает с началом следующего вектора).
TYPES Точка = (Абсцисса:Real, Ордината:Real).
Вектор = (Начало:Точка, Конец:Точка).
Окружность = (Центр:Точка, Радиус:Real).
FUN: расст(X,Y):= sqrt((X.Абсцисса-Y.Абсцисса)**2+.Абсцисса-Y.Абсцисса)**2)
END
FUN: длина: Вектор -> Real
длина(X):= расст(X.Начало,Y.Конец)
END
FUN цепь: LLIST(Вектор)-> Boolean
цепь(Х):= true IF X IN Вектор,
цепь(X::Y):= X.Конец = CAR(Y).Начало; цепь(Y)
END
FUN: коллин: (Вектор, Вектор) -> Boolean
коллин(X,Y):= (длина(X)=длина(Y));
(расст(X.Начало,Y.Начало) = расст(X.Начало,Y.Начало)).
END
FUN: площадь: Окружность -> Real
площадь(Х):= 3.141592*(Х.Радиус)**2
END
FUN: соприкас: (Окружность, Окружность) -> Boolean
cоприкас(X,Y):= true IFF
расст(X.Центр, Y.Центр)= X.Радиус + Y.Радиус
END