МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

П Р О Г Р А М М А

ИТОГОВОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА

БАКАЛАВРИАТА ПО НАПРАВЛЕНИЮ

010500 - Прикладная математика и информатика

ПРОФИЛИРУЮЩАЯ ДИСЦИПЛИНА

Математические модели в естествознании и экологии

“Утверждаю”

Директор

Института автоматики и

вычислительной техники Лунин В.П.

Зав. кафедрой

математического моделирования Амосов А.А.

. 1. Алгебра и аналитическая геометрия.

1. Определители и их свойства.

2. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге матрицы.

3. Исследование разрешимости систем линейных алгебраических уравнений. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений.

4. Линейные пространства. Базис. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

5. Евклидовы и унитарные пространства. Неравенство треугольника.

Неравенство Коши-Буняковского.

6. Линейные операторы. Матрица оператора. Обратный оператор.

7. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

Операторы простой структуры.

Литература

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука. 1986.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука. 1988.

.2. Математический анализ.

8. Предел числовой последовательности. Cвойства сходящихся последовательностей. Частичные пределы. Критерий Коши.

9. Непрерывные функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

10. Производная и ее свойства. Правила вычисления производной. Уравнения касатель- ной и нормали к кривой.

11. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

12. Определенный интеграл Римана. Основные свойства. Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывной на отрезке функции.

13. Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

14. Числовые ряды. Сходимость ряда, сумма ряда. Критерий Коши сходимости. Признаки сходимости числовых рядов.

15. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса равномер-ной сходимости. Непрерывность суммы функционального ряда.

16. Степенные ряды. Радиус сходимости и область сходимости. Ряд Тейлора.

17. Ряды Фурье. Сходимость рядов Фурье в среднем. Достаточные условия равномерной сходимости рядов Фурье.

18. Экстремумы функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.

19. Функции комплексного переменного. Дифференцируемость. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Аналитические функции комплексного перемен- ного. Условия Коши-Римана.

Литература

1. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т. 1,2. М.: Высшая школа. 1973 (и последу-ющие издания).

2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1978 (и последующие издания).

3. Дифференциальные уравнения.

20. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Уравнения

первого порядка, интегрируемы в квадратурах.

21. Задача Коши. Теорема Пеано о разрешимости задачи Коши. Теоремы о единствен-ности решения задачи Коши.

22. Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Общее решение.

23. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость решений систем диффе-ренциальных уравнений. Устойчивость по Ляпунову решений систем с постоянными коэффициентами.

24. Исследование на устойчивость по первому приближению. Теорема Ляпунова об

устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости.

25. Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных функций и собственных значений.

Теорема Стеклова.

Литература

1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М. : Наука. 1969 (и последующие издания).

2. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1985.

4. Уравнения математической физики

26. Задача Коши для уравнения колебаний струны. Формула Даламбера.

27. Начально-краевые задачи для параболического уравнения. Метод разделения переменных. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом Фурье.

28. Начально-краевые задачи для гиперболического уравнения. Метод разделения переменных. Решение первой краевой задачи методом Фурье.

29. Задача Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона. Принцип максимума.

Литература

1. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. М.: Мир. 1985.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1980.

.5. Численные методы.

27. Основные понятия вычислительной математики. Корректность, устойчивость, обусловленность вычислительных задач и вычислительных алгоритмов.

28. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

29. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

30. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

31. Метод конечных разностей. Аппроксимация, устойчивость и сходимость. Разностный метод решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Литература

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: 1978.

2. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы. М. Издательский дом МЭИ. 2008.

.6. Элементы функционального анализа.

35. Метрические пространства. Полнота метрических пространств. Принцип сжимающих отображений и его приложения.

36. Гильбертовы пространства. Ортонормированные системы. Ряды Фурье и их свойства. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.

37. Нормированные пространства. Банаховы пространства. Линейные операторы. Ограниченность и непрерывность линейного оператора.

38. Спектр линейного оператора и его свойства.

Литература.

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа М.: Наука. 1976.

2. Треногин В.А. Функциональный анализ. М. Наука. 1986.

Программу составили

Зав. кафедрой ММ,

д.ф.-м.н., профессор Амосов А.А.

д.ф.-м.н., профессор Дубинский Ю.А.