{Расчет центральных моментов по формулам теоретической связи}

Mu2=m2-m1^2;

Mu3=m3-3*m1*m2+2*m1^3;

Sk=Mu3/(sqrt(Mu2))^3;

Mu4=m4-4*m1*m3+6*m2*(m1^2)-3*m1^4;

Ex=(Mu4/(sqrt(Mu2))^4)-3;

sko=sqrt(Mu2);

output m1,m2,m3,m4,Mu2,Mu3,Sk,Mu4,Ex,sko;

Для сравнения произведем расчет первых четырех центральных моментов непосредственно по выборке по следующей программе.

Программа 2.

t=time;

t1=140;t2=223;t3=58;t4=113;t5=222;t6=192;t7=168;

t8=225;t9=182;t10=239;t11=149;t12=53;t13=126;t14=66;

t15=242;t16=165;t17=145;t18=159;t19=205;t20=196;t21=130;

t22=122;t23=143;t24=244;t25=78;t26=244;t27=160;t28=198;

t29=175;t30=76;t31=162;t32=147;t33=211;t34=225;t35=203;

t36=153;t37=92;t38=117;t39=133;t40=109;t41=142;t42=128;

t43=132;t44=202;t45=156;t46=126;t47=192;t48=264;t49=197;t50=118;

N=50;

{T=(t1+t2+t3+t4+t5+t6+t7+t8+t9+t10+t11+t12+t13+t14+t15+t16+t17+t18+t19+t20+

t21+t22+t23+t24+t25+t26+t27+t28+t29+t30+t31+t32+t33+t34+t35+t36+t37+t38+t39+

t40+t41+t42+t43+t44+t45+t46+t47+t48+t49+t50)/N;}

T=160.94;

D=((t1-T)^2+(t2-T)^2+(t3-T)^2+(t4-T)^2+(t5-T)^2+(t6-T)^2+(t7-T)^2+(t8-T)^2+

(t9-T)^2+(t10-T)^2+(t11-T)^2+(t12-T)^2+(t13-T)^2+(t14-T)^2+(t15-T)^2+(t16-T)^2+

(t17-T)^2+(t18-T)^2+(t19-T)^2+(t20-T)^2+(t21-T)^2+(t22-T)^2+(t23-T)^2+(t24-T)^2+

(t25-T)^2+(t26-T)^2+(t27-T)^2+(t28-T)^2+(t29-T)^2+(t30-T)^2+(t31-T)^2+(t32-T)^2+

(t33-T)^2+(t34-T)^2+(t35-T)^2+(t36-T)^2+(t37-T)^2+(t38-T)^2+(t39-T)^2+

(t40-T)^2+(t41-T)^2+(t42-T)^2+(t43-T)^2+(t44-T)^2+(t45-T)^2+(t46-T)^2+

(t47-T)^2+(t48-T)^2+(t49-T)^2+(t50-T)^2)/N;

Sko=sqrt(D);

Skos= (((t1-T)^3+(t2-T)^3+(t3-T)^3+(t4-T)^3+(t5-T)^3+(t6-T)^3+(t7-T)^3+(t8-T)^3+

(t9-T)^3+(t10-T)^3+(t11-T)^3+(t12-T)^3+(t13-T)^3+(t14-T)^3+(t15-T)^3+(t16-T)^3+

(t17-T)^3+(t18-T)^3+(t19-T)^3+(t20-T)^3+(t21-T)^3+(t22-T)^3+(t23-T)^3+(t24-T)^3+

(t25-T)^3+(t26-T)^3+(t27-T)^3+(t28-T)^3+(t29-T)^3+(t30-T)^3+(t31-T)^3+(t32-T)^3+

(t33-T)^3+(t34-T)^3+(t35-T)^3+(t36-T)^3+(t37-T)^3+(t38-T)^3+(t39-T)^3+

(t40-T)^3+(t41-T)^3+(t42-T)^3+(t43-T)^3+(t44-T)^3+(t45-T)^3+(t46-T)^3+

(t47-T)^3+(t48-T)^3+(t49-T)^3+(t50-T)^3)/N)/Sko^3;

Exc=((((t1-T)^4+(t2-T)^4+(t3-T)^4+(t4-T)^4+(t5-T)^4+(t6-T)^4+(t7-T)^4+(t8-T)^4+

(t9-T)^4+(t10-T)^4+(t11-T)^4+(t12-T)^4+(t13-T)^4+(t14-T)^4+(t15-T)^4+(t16-T)^4+

(t17-T)^4+(t18-T)^4+(t19-T)^4+(t20-T)^4+(t21-T)^4+(t22-T)^4+(t23-T)^4+(t24-T)^4+

(t25-T)^4+(t26-T)^4+(t27-T)^4+(t28-T)^4+(t29-T)^4+(t30-T)^4+(t31-T)^4+(t32-T)^4+

(t33-T)^4+(t34-T)^4+(t35-T)^4+(t36-T)^4+(t37-T)^4+(t38-T)^4+(t39-T)^4+

(t40-T)^4+(t41-T)^4+(t42-T)^4+(t43-T)^4+(t44-T)^4+(t45-T)^4+(t46-T)^4+

(t47-T)^4+(t48-T)^4+(t49-T)^4+(t50-T)^4)/N)/Sko^4)-3;

output {T} D,Sko,Skos,Exc;

Результаты расчетов для их сравнения сведем в таблицу.

Таблица. Оценки центральных моментов

Метод расчета	Дисперсия	с.к.о	Skewness	Excess
По найденным начальным	2712.2564	52.07933	-0.0859109	-0.677924
По выборке	2712.2564	52.07933	-0.0859109	-0.677924
Несмещенные оценки	2767.6086	52.60806	-0.0885911	-0.591176

Как видно из таблицы результаты расчета центральных моментов на основе найденных начальных моментов по теоретически связующим их формулам совпадают с прямым расчетом по выборке. Для дальнейших расчетов мы примем несмещенные оценки, полученные при расчете непосредственно по выборке.

Уже по полученным оценкам могут быть сразу исключены из рассмотрения показательный и нормальный законы. Поиски необходимо вести среди распределений с отрицательной ассиметрией формы плотности вероятности.

Среди них подозрение падает, в частности на законы Вейбулла, гамма-распределение, логнормальный закон распределения и может быть на некоторые другие (см. Приложение 1).

Полученные несмещенные точечные оценки моментов используем в дальнейшем при проведении оценок параметров предполагаемых распределений методами моментов и максимального правдоподобия.

Представим в графическом виде эмпирическую функцию распределения как ступенчатой функции от аргумента с использованием средств ПК «МВТУ».

Программа 3.

t=time;

t1=140;t2=223;t3=58;t4=113;t5=222;t6=192;t7=168;

t8=225;t9=182;t10=239;t11=149;t12=53;t13=126;t14=66;

t15=242;t16=165;t17=145;t18=159;t19=205;t20=196;t21=130;

t22=122;t23=143;t24=244;t25=78;t26=244;t27=160;t28=198;

t29=175;t30=76;t31=162;t32=147;t33=211;t34=225;t35=203;

t36=153;t37=92;t38=117;t39=133;t40=109;t41=142;t42=128;

t43=132;t44=202;t45=156;t46=126;t47=192;t48=264;t49=197;t50=118;

x1=step(t1,0,1);x2=step(t2,0,1);x3=step(t3,0,1);x4=step(t4,0,1);x5=step(t5,0,1);

x6=step(t6,0,1);x7=step(t7,0,1);x8=step(t8,0,1);x9=step(t9,0,1);x10=step(t10,0,1);

x11=step(t11,0,1);x12=step(t12,0,1);x13=step(t13,0,1);

x14=step(t14,0,1);x15=step(t15,0,1);

x16=step(t16,0,1);x17=step(t17,0,1);x18=step(t18,0,1);

x19=step(t19,0,1);x20=step(t20,0,1);

x21=step(t21,0,1);x22=step(t22,0,1);x23=step(t23,0,1);

x24=step(t24,0,1);x25=step(t25,0,1);

x26=step(t26,0,1);x27=step(t27,0,1);x28=step(t28,0,1);

x29=step(t29,0,1);x30=step(t30,0,1);

x31=step(t31,0,1);x32=step(t32,0,1);x33=step(t33,0,1);

x34=step(t34,0,1);x35=step(t35,0,1);

x36=step(t36,0,1);x37=step(t37,0,1);x38=step(t38,0,1);

x39=step(t39,0,1);x40=step(t40,0,1);

x41=step(t41,0,1);x42=step(t42,0,1);x43=step(t43,0,1);

x44=step(t44,0,1);x45=step(t45,0,1);

x46=step(t46,0,1);x47=step(t47,0,1);x48=step(t48,0,1);

x49=step(t49,0,1);x50=step(t50,0,1);

F=(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18+x19+x20+

+x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27+x28+x29+x30+x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37+x38+x39+x40+x41+x42+x43+x44+x45+x46+x47+x48+x49+x50)/50;

output F;

При решение задачи использован адаптивный неявный метод с минимальным и максимальным шагами расчета и соответственно и заданной точностью . Полученный график приведен на рис. 5.1.

Рис. 5.1 – График эмпирической функции распределения

Наглядный вид эмпирической функции распределения и количественные значения вычисленных моментов позволяют уточнить или сузить число выдвигаемых гипотез о предполагаемых законах распределения случайной исследуемой величины, оговорив все основания для этого.

Выбор гипотез о предполагаемых законах распределения случайной величины в данном случае должен осуществляться, очевидно, из числа следующих стандартных:

- логнормальное распределение;

- гамма-распределение, включая распределение Эрланга с целочисленным параметром формы;

- распределение Вейбулла;

- распределение минимального значения;

- распределение максимального значения;

- распределение Релея.