Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“петербургский государственный университет путей сообщения”

Институт повышения квалификации и переподготовки

УПРАВЛЕНИЕ НАДЕЖНОСТЬЮ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ПУТИ

Методические указания

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2006

Изложена методика прогнозирования отказов рельсов, скреплений и подрельсовых оснований для планирования периодичности ремонтов.

Предназначено для слушателей ИПКП специальности "Строительство железных дорог, путь и путевое хозяйство".

Составители В.В. Гниломедов, В.Б. Захаров, А.В. Селезнев

1 Оценка надежности конструкций

верхнего строения пути

1.1 Показатели надежности и модели отказов элементов

верхнего строения пути

Конечный результат работы железной дороги – выполнение графика движения поездов при оптимальных экономических показателях – во многом определяется надежностью технических средств железной дороги, т. е. способностью любого устройства, системы, объекта выполнять заданные функции, сохраняя эксплуатационные показатели в установленных пределах в течение определенного промежутка времени и назначенной наработки.

Железнодорожный путь является основой железнодорожного транспорта. Надежность пути оказывает существенное влияние на эффективность транспортного процесса. Требование обеспечения надежности железнодорожного пути приобретает особое значение в условиях роста скоростей движения, осевых и погонных нагрузок, а также массы поездов.

Решение задач оптимизации параметров верхнего строения пути может выполняться различными способами, но с технической точки зрения более правильным является минимизация вероятности того, что за время эксплуатации конструкции пути ее параметры могут выйти из области допустимых значений.

В практике ведения путевого хозяйства приходится постоянно решать задачи, относящиеся к области теории надежности. Среди них можно назвать такие, как определение межремонтных сроков с учетом влияния на них различных факторов (нагрузка на ось, скорости движения поездов и т. д.), определение периодичности контроля состояния рельсов в пути (использование средств дефектоскопии).

Показатели надежности пути очень важны при оценке качества новых конструкций, выработке стратегии ведения путевого хозяйства.

Показатели надежности – это количественная характеристика одного или нескольких свойств, составляющих надежность объекта. Численные значения показателей могут быть выражены размерными или безразмерными величинами.

Формулировка смысла показателя обычно отражает и способ определения его численного значения расчетным или опытным путем.

Принципиальной основой ведения путевого хозяйства является не ликвидация отказов, а их предупреждение, т. е. выполнение профилактических работ в установленные сроки. Исходя из этого, основными показателями надежности элементов верхнего строения пути будут считаться показатели надежности невосстанавливаемых объектов или объектов, работающих до первого отказа, например рельсов. Для оценки надежности таких объектов используют вероятностные характеристики случайной величины – наработки Т объекта от начала его эксплуатации до первого отказа.

Критериями надежности невосстанавливаемых объектов являются:

вероятность безотказной работы P(t);

плотность распределения наработки до отказа f(t);

интенсивность отказов (t);

средняя наработка до первого отказа T_ср.

Вероятностью безотказной работы называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени или в пределах заданной наработки не произойдет ни одного отказа.

Согласно определению,

P(t) = P(T>t), (1.1)

где t – время или наработка, в течение которой определяется вероятность безотказной работы;

T – время или наработка от начала до первого отказа.

Вероятность безотказной работы по статистическим данным об отказах оценивается выражением:

, (1.2)

где N₀ – число объектов в начале испытаний;

N(t_i) – число безотказно проработавших объектов к моменту времени t_i.

При большом числе объектов N₀ статистическая оценка P(t) практически совпадает с вероятностью безотказной работы . На практике иногда более удобной характеристикой является вероятность отказа F(t).

Вероятностью отказа называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени возникнет хотя бы один отказ. Отказ и безотказная работа являются событиями несовместимыми и противоположными, поэтому

(1.3)

где r(t_i) – число отказов к моменту времени (t_i).

Плотностью распределения наработки до отказа называется отношение числа отказавших объектов в единицу времени к первоначальному числу испытываемых объектов при условии, что все вышедшие из строя объекты не восстанавливаются.

Плотность распределения наработки до отказа f(t) является дифференциальной формой закона распределения наработки до отказа:

(1.4)

Плотность f(t) является неотрицательной функцией, причем

.

График f(t) часто называют кривой распределения наработки до отказа.

Статистическая оценка плотности вероятности безотказной работы имеет вид:

, (1.5)

где n_i – число отказавших изделий в интервале времени ∆t.

Интенсивностью отказов называется отношение числа отказавших объектов в единицу наработки к числу объектов, безотказно работающих к рассматриваемому моменту времени,

(1.6)

Вероятностная оценка интенсивности отказов определяется по формуле:

. (1.7)

Интенсивность отказов представляет собой условную плотность вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого объекта, определяемую для рассматриваемого момента времени или наработки при условии, что до этого момента отказа не произошло.

Интенсивность отказов и вероятность безотказной работы связаны между собой зависимостью:

. (1.8)

Важнейшей из характеристик является средняя наработка до первого отказа, которая определяется как математическое ожидание величины t:

. (1.9)

Так как t положительно и Р(0)=1, а Р()=0, то

. (1.10)

По статистическим данным об отказах средняя наработка до первого отказа вычисляется по формуле:

, (1.11)

где t_i – время (наработка) безотказной работы i-го образца изделия;

N₀ – число испытуемых образцов.

Основной характеристикой рассеивания случайной величины является дисперсия этой величины, которая определяется как

. (1.12)

Статистическая оценка дисперсии величины t имеет следующий вид:

. (1.13)

За меру рассеивания принимают также среднее квадратичное отклонение (или стандарт), равное квадратному корню из дисперсии, взятому с положительным знаком:

. (1.14)

Рассмотренные критерии позволяют достаточно полно оценить надежность невосстанавливаемых изделий. Они позволяют также оценить надежность восстанавливаемых изделий до первого отказа.

Исчерпывающей характеристикой надежности устройств с непрерывным характером работы служит закон распределения времени безотказной работы. Если известны вид закона и его параметры, то легко определить любую интересующую нас характеристику надежности.

В качестве теоретических распределений наработки до отказа могут быть использованы любые применяемые в теории вероятностей непрерывные распределения. Наиболее распространенными законами распределения отказов являются экспоненциальный и нормальный.

Экспоненциальное распределение характерно для внезапных отказов элементов и систем.

Плотность вероятности экспоненциального распределения случайной величины задается уравнением:

, (1.15)

где  – интенсивность отказов (величина, обратная наработке до отказа, ).

Если отказы исследуемых объектов подчиняются экспоненциальному закону, то для данного объекта в данных условиях эксплуатации  = const, т. е. в равные промежутки наработки число отказавших объектов, приходящихся на каждый оставшийся работоспособным к этому моменту наработки, будет постоянным.

Другие характеристики экспоненциального распределения: средняя наработка до первого отказа , дисперсия D_T = Т_cp; вероятность безотказной работы

. (1.16)

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) часто хорошо согласуется с экспериментальными данными при испытаниях на надежность. Это относится прежде всего к таким процессам, при которых отказы вызываются многими равно влияющими причинами. Параметрами распределения для нормального закона являются T_cp и _t.

Плотность распределения случайной величины задается уравнением:

. (1.17)

Расчеты удобно производить, если указанное выражение привести к более простому виду. Для этого начало координат надо переместить на ось симметрии, т. е. в точку T_cp, и наработку представить в относительных единицах, а именно в частях, пропорциональных среднему квадратичному отклонению. При этом необходимо заменить переменную величину другой

, (1.18)

а величину среднего квадратичного отклонения принять _t = 1. Тогда в новых координатах получим так называемую центрированную и нормированную функцию, плотность распределения которой

. (1.19)

Значения этой функции приведены во многих математических справочниках. Площадь под кривой (x) в пределах – < x <  равна 1.

Интегральная функция

, (1.20)

которая является функцией нормального распределения, также протабулирована и ею удобно пользоваться при расчетах.

Значения функции F₀(x) приведены в приложенеии 1.

Обратный переход от центрированной и нормированной функции к исходной делается по формулам:

; (1.21)

. (1.22)

Эксплуатировать конструкции пути до полного отказа всех элементов невозможно, поэтому для определения параметров распределения используют усеченные выборки.

В случае усеченной выборки, когда в результате испытаний объектов получены R возрастающих значений наработки (R < N₀) для отказавших объектов t₁, t₂, …, t_r, a N_0–r объектов по истечении некоторого времени t₀  t_r остались исправными, параметры T_cp и _t можно оценить по методу квантилей следующими образом.

Квантиль порядка P есть такое значение U_p = P случайной величины x, для которой

(0 < P < 1).

Значения функции F₀(U_p) = P и соответствующие ей значения U_p можно найти в специальных таблицах нормального распределения (прил. 2),

и .

Индекс P означает «вероятность» и в таблицах квантилей задается в пределах 0,5  P  1, если P  0,5, то определяют 1 – P, т. е.

и .

Считаем, что за время t_i вероятность выхода из строя испытываемых объектов составляет

. (1.23)

Для этой вероятности (частично) определяем квантили U_p по приложению 2 и составляем R уравнений:

(1.24)

Полученную систему уравнений решим по методу наименьших квадратов, для чего умножим левые части каждого из уравнений системы на U_P1, U_P2, ... ,U_Pr соответственно и все R уравнений сложим, в результате получим так называемое первое нормальное уравнение:

(1.25)

Второе нормальное уравнение получим суммированием уравнений системы (1.24):

. (1.26)

Уравнения (1.25) и (1.26) решаем относительно неизвестных T_cp и _t и находим таким образом их оценки.

1.2 Оценка и прогнозирование надежности рельсов

Для оценки надежности рельсов необходимы сведения об их отказах с момента укладки в путь. Такие данные можно взять из ведомостей учета рельсов, снятых с главных путей по изломам, порокам и повреждениям (ПУ-4) и рельсо-шпало-балластных карт.

Данные об отказах рельсов, включаемых в одну совокупность, должны отвечать набору определяющих признаков: по типу рельсов (с учетом термообработки), роду шпал, балласта, плана и профиля пути, а также по грузонапряженности, осевым нагрузкам, скоростям движения и др.

Длина анализируемого участка пути определяется необходимой точностью получения показателей надежности рельсов. При планировании статистического эксперимента необходимо предусматривать объем выборки не менее 800 рельсов, т. е. длина анализируемого участка с однотипным верхним строением пути должна быть не менее 10 км. Из многочисленных наблюдений известно, что с ростом пропущенного тоннажа интенсивность отказов рельсов увеличивается.

Поэтому используем нормальное распределение. Плотность распределения отказов рельсов задается уравнением (1.17), а интегральная функция распределения – уравнением (1.21).

1.2.1 Определение параметров нормального распределения

Нормальное распределение является двухпараметрическим: заданием параметров T_cp и _t полностью определяется распределение.

Данные об отказах рельсов на некотором участке пути представляют собой вариационный ряд случайных чисел наработки до отказа (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Параметры отказов рельсов

Наработка ti, млн.т	Частота R(ti), шт/км	Частость	Квантиль UPi
266 429 591 751 902 1064	0,52 0,98 1,58 2,10 3,60 5,60	0,00650 0,01225 0,01975 0,02625 0,04500 0,07000	2,49 2,25 2,06 1,94 1,70 1,48

Квантили U_Pi определяются по значениям частости F(t_i) с использованием специальных таблиц. Используя данные приложений 1 и 2, запишем для каждой наработки t_i уравнения (1.24):

T_cp – 2,49_t = 226 млн.т брутто;

T_cp – 2,25_t = 429 млн.т брутто;

T_cp – 2,06_t = 591 млн.т брутто;

T_cp – 1,94_t = 751 млн.т брутто;

T_cp – 1,70_t = 902 млн.т брутто;

T_cp – 1,48_t = 1064 млн.т брутто.

Складывая левые и правые части уравнений, получим:

6T_cp – 11,92_t = 4003 млн.т брутто.

Умножая левые и правые части уравнений на квантили U_Pi и аналогично складывая, найдем:

11,92T_cp – 24,34_t = 7410 млн.т брутто.

Значения параметров T_cp и _t определим, решая систему полученных двух уравнений. Для рассматриваемого случая T_cp = 2300 млн. т, _t = 822 млн. т.

Оценка доверительных границ (95%) найденных значений параметров T_cp и _t производится по формулам:

; (1.27)

. (1.28)

В зависимостях (1.27) и (1.28) значения (T_cp) и (_t) вычисляются как

; (1.29)

, (1.30)

где k – коэффициент усечения выборки,

, (1.31)

f₂(k) и f₃(k) – вспомогательные функции, определяемые по приложению 3;

n – количество обследуемых рельсов на данном участке.

В качестве примера вычислим для найденных параметров T_cp и _t доверительные интервалы.

Для этого прежде всего находится коэффициент усечения:

.

По приложению 3 для k = 1,5 находим f₂(1,5) = 33,34, f₃(1,5) = 11,55.

Тогда

млн.т брутто;

млн.т брутто.

Используя формулы (1.27) и (1.28), найдем 95%-ные доверительные интервалы:

T_cp(max/min) = 2300 ± 150 = 2450...2150 млн. т;

_t(max/min) = 822 ± 88,4 = 910,4...733,6 млн. т.