4 Статистическая проверка гипотез. Критерий «стареющих» распределений
4.1 Критерий согласия а.Н. Колмогорова
Для выполнения статистической проверки каждой гипотезы о виде распределения используем критерий А.Н. Колмогорова (критерий «согласия» предполагаемого распределения с эмпирическим).
Осуществить следующую процедуру:
-
при каждом значении случайной величины
в выборке
вычислить модуль разности между
эмпирическим значением
и «разгадываемым» теоретическим
,
- Вычислить значение выборочной статистики
.
А.Н.
Колмогоров доказал, что если принятая
гипотеза верна, то выборочная статистика
при
имеет
функцию распределения
;
,
которая табулирована.
-
Задаваясь уровнем значимости
,
то есть вероятностью совершить ошибку
первого рода, из соотношения
найдем
критическое значение
.
И если вычисленное значение
<
,
то нет оснований для отклонения гипотезы
о рассматриваемом теоретическом
распределении. Если же
,
то гипотеза отклоняется.
Критические значения для распределения Колмогорова заранее рассчитаны для наиболее употребительных уровнях значимости :
|
0,20 |
0,10 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,001 |
|
1,073 |
1,224 |
1,358 |
1,520 |
1,625 |
1,950 |
|
|
|
|
|
|
|
4.2 Критерии «стареющего» распределения
Проверка
принадлежности функции распределения
к типу «стареющих» осуществляется
непосредственно с использованием
результатов расчета четырех начальных
выборочных моментов
,
(
).
По значениям
находятся величины
и составляется система неравенств
для
Выполнение неравенств и как следствие выявления факта о принадлежности рассматриваемого элемента к типу стареющих позволяет сузить класс функций-претендентов при подборе аналитической аппроксимации эмпирического распределения.
5. Программы и результаты решения конкретной задачи обработки статистических данных
5.1. Постановка задачи
В качестве исходными данными для практической отработки предложенных алгоритмов являются конкретная выборка объемом из 50-ти наблюдений , где N=50, принадлежащая некоторой генеральной совокупности с неизвестным законом распределения случайной величины, который подлежит «разгадыванию» среди множества стандартных распределений.
Наиболее важные стандартные распределения и соотношения теоретических моментов с параметрами распределения приведены в справочном Приложении 1.
Там же приведены соответствующие преобразования для применения метода « вероятностной бумаги».
5.2. Расчет первых четырех выборочных моментов и построение эмпирической функции распределения
Рассмотрим
полную выборку из 50 элементов
(N=50),
сгенерированную для генеральной
совокупности, описываемой (для
определенности) распределением Вейбулла
с параметрами
и
:
140;223;58;113;222;192;168;225;182;239;149;53;126;66;242;165;145;159;205;196;130;122; 143;244;78;244;160;198;175;76;162;147;211;225;203;153;92;117;133;109;142;128;132;202 156;126;192;264;197;118. |
Результаты расчета первых четырех начальных и центральных моментов, произведенных по выше приведенным формулам, таковы.
Начальные моменты:
.
Центральные моменты:
Центральные несмещенные моменты:
Приведем несколько программ расчета моментов в среде ПК «МВТУ»:
Программа 1.
t=time;
t1=140;t2=223;t3=58;t4=113;t5=222;t6=192;t7=168;
t8=225;t9=182;t10=239;t11=149;t12=53;t13=126;t14=66;
t15=242;t16=165;t17=145;t18=159;t19=205;t20=196;t21=130;
t22=122;t23=143;t24=244;t25=78;t26=244;t27=160;t28=198;
t29=175;t30=76;t31=162;t32=147;t33=211;t34=225;t35=203;
t36=153;t37=92;t38=117;t39=133;t40=109;t41=142;t42=128;
t43=132;t44=202;t45=156;t46=126;t47=192;t48=264;t49=197;t50=118;
N=50;
{Расчет начальных моментов }
m1=(t1+t2+t3+t4+t5+t6+t7+t8+t9+t10+t11+t12+t13+t14+t15+t16+t17+t18+t19+t20+
t21+t22+t23+t24+t25+t26+t27+t28+t29+t30+t31+t32+t33+t34+t35+t36+t37+t38+t39+
t40+t41+t42+t43+t44+t45+t46+t47+t48+t49+t50)/N;
m2=(t1^2+t2^2+t3^2+t4^2+t5^2+t6^2+t7^2+t8^2+t9^2+t10^2+t11^2+t12^2
+t13^2+t14^2+t15^2+t16^2+t17^2+t18^2+t19^2+t20^2+t21^2+t22^2+t23^2+t24^2
+t25^2+t26^2+t27^2+t28^2+t29^2+t30^2+t31^2+t32^2+t33^2+t34^2+t35^2+t36^2
+t37^2+t38^2+t39^2+t40^2+t41^2+t42^2+t43^2+t44^2+t45^2+t46^2+t47^2+t48^2
+t49^2+t50^2)/N;
m3=(t1^3+t2^3+t3^3+t4^3+t5^3+t6^3+t7^3+t8^3+t9^3+t10^3+t11^3+t12^3
+t13^3+t14^3+t15^3+t16^3+t17^3+t18^3+t19^3+t20^3+t21^3+t22^3+t23^3+t24^3
+t25^3+t26^3+t27^3+t28^3+t29^3+t30^3+t31^3+t32^3+t33^3+t34^3+t35^3+t36^3
+t37^3+t38^3+t39^3+t40^3+t41^3+t42^3+t43^3+t44^3+t45^3+t46^3+t47^3+t48^3
+t49^3+t50^3)/N;
m4=(t1^4+t2^4+t3^4+t4^4+t5^4+t6^4+t7^4+t8^4+t9^4+t10^4+t11^4+t12^4
+t13^4+t14^4+t15^4+t16^4+t17^4+t18^4+t19^4+t20^4+t21^4+t22^4+t23^4+t24^4
+t25^4+t26^4+t27^4+t28^4+t29^4+t30^4+t31^4+t32^4+t33^4+t34^4+t35^4+t36^4
+t37^4+t38^4+t39^4+t40^4+t41^4+t42^4+t43^4+t44^4+t45^4+t46^4+t47^4+t48^4
+t49^4+t50^4)/N;